NumPy - 線性代數

NumPy 包包含numpy.linalg模組，提供線性代數所需的所有功能。 此模組中的一些重要功能如下表所述。

numpy.dot()

此函式返回兩個陣列的點積。 對於二維向量，其等效於矩陣乘法。 對於一維陣列，它是向量的內積。 對於 N 維陣列，它是a的最後一個軸上的和與b的倒數第二個軸的乘積。

import numpy.matlib 
import numpy as np 

a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
np.dot(a,b)

輸出如下：

[[37  40] 
 [85  92]]

要注意點積計算為：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

此函式返回兩個向量的點積。 如果第一個引數是複數，那麼它的共軛複數會用於計算。 如果引數id是多維陣列，它會被展開。

例子

import numpy as np 
a = np.array([[1,2],[3,4]]) 
b = np.array([[11,12],[13,14]]) 
print np.vdot(a,b)

輸出如下：

130

注意：1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130。

numpy.inner()

此函式返回一維陣列的向量內積。 對於更高的維度，它返回最後一個軸上的和的乘積。

例子

import numpy as np 
print np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])) 
# 等價於 1*0+2*1+3*0

輸出如下：

2

例子

# 多維陣列範例 
import numpy as np 
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 

print '陣列 a：' 
print a 
b = np.array([[11, 12], [13, 14]]) 

print '陣列 b：' 
print b 

print '內積：' 
print np.inner(a,b)

輸出如下：

陣列 a：
[[1 2]
[3 4]]

陣列 b：
[[11 12]
[13 14]]

內積：
[[35 41]
[81 95]]

上面的例子中，內積計算如下：

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul()函式返回兩個陣列的矩陣乘積。 雖然它返回二維陣列的正常乘積，但如果任一引數的維數大於2，則將其視為存在於最後兩個索引的矩陣的棧，並進行相應廣播。

另一方面，如果任一引數是一維陣列，則通過在其維度上附加 1 來將其提升為矩陣，並在乘法之後被去除。

例子

# 對於二維陣列，它就是矩陣乘法
import numpy.matlib 
import numpy as np 

a = [[1,0],[0,1]] 
b = [[4,1],[2,2]] 
print np.matmul(a,b)

輸出如下：

[[4  1] 
 [2  2]]

例子

# 二維和一維運算
import numpy.matlib 
import numpy as np 

a = [[1,0],[0,1]] 
b = [1,2] 
print np.matmul(a,b) 
print np.matmul(b,a)

輸出如下：

[1  2] 
[1  2]

例子

# 維度大於二的陣列 
import numpy.matlib 
import numpy as np 

a = np.arange(8).reshape(2,2,2) 
b = np.arange(4).reshape(2,2) 
print np.matmul(a,b)

輸出如下：

[[[2   3] 
   [6   11]] 
  [[10  19] 
   [14  27]]]

numpy.linalg.det()

行列式線上性代數中是非常有用的值。 它從方陣的對角元素計算。 對於 2×2 矩陣，它是左上和右下元素的乘積與其他兩個的乘積的差。

換句話說，對於矩陣[[a，b]，[c，d]]，行列式計算為ad-bc。 較大的方陣被認為是 2×2 矩陣的組合。

numpy.linalg.det()函式計算輸入矩陣的行列式。

例子

import numpy as np
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
print np.linalg.det(a)

輸出如下：

-2.0

例子

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]]) 
print b 
print np.linalg.det(b) 
print 6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)

輸出如下：

[[ 6 1 1]
 [ 4 -2 5]
 [ 2 8 7]]

-306.0

-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve()函式給出了矩陣形式的線性方程的解。

考慮以下線性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

可以使用矩陣表示為：

如果矩陣成為A、X和B，方程變為：

AX = B

或

X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

我們使用numpy.linalg.inv()函式來計算矩陣的逆。 矩陣的逆是這樣的，如果它乘以原始矩陣，則得到單位矩陣。

例子

import numpy as np 

x = np.array([[1,2],[3,4]]) 
y = np.linalg.inv(x) 
print x 
print y 
print np.dot(x,y)

輸出如下：

[[1 2]                                                                        
 [3 4]]                                                                       
[[-2.   1. ]                                                                  
 [ 1.5 -0.5]]                                                                 
[[  1.00000000e+00   1.11022302e-16]                                          
 [  0.00000000e+00   1.00000000e+00]]

例子

現在讓我們在範例中建立一個矩陣A的逆。

import numpy as np 
a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]]) 

print '陣列 a：'
print a 
ainv = np.linalg.inv(a) 

print 'a 的逆：' 
print ainv  

print '矩陣 b：' 
b = np.array([[6],[-4],[27]]) 
print b 

print '計算：A^(-1)B：' 
x = np.linalg.solve(a,b) 
print x  
# 這就是線性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

輸出如下：

陣列 a：
[[ 1 1 1]
 [ 0 2 5]
 [ 2 5 -1]]

a 的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
 [-0.47619048 0.14285714 0.23809524]
 [ 0.19047619 0.14285714 -0.0952381 ]]

矩陣 b：
[[ 6]
 [-4]
 [27]]

計算：A^(-1)B：
[[ 5.]
 [ 3.]
 [-2.]]

結果也可以使用下列函式獲取

x = np.dot(ainv,b)