到目前為止，我們已經看到所有的例子都在MATLAB以及它的GNU，或者稱為Octave。 但是，為了求解基本代數方程，MATLAB和Octave都不同，所以這裡將分別介紹MATLAB和Octave。
我們還將討論代數表示式的分解和簡化。
solve函式用於求解代數方程。 在其最簡單的形式中，solve函式將參照中的方程式作為引數。
例如，在等式x-5 = 0中求解x，參考以下程式碼實現 -
solve('x-178=0')
MATLAB將執行上述語句並返回以下結果 -
Trial>> solve('x-178=0')
ans =
178
也可以這樣呼叫solve函式 -
Trial>> solve('x-110 = 0')
ans =
110
甚至可以不用包括方程的右側部分 -
Trial>> solve('x-110')
ans =
110
如果方程式涉及多個符號，則預設情況下，MATLAB假定正在求解x，但是，solve函式具有另一種形式 -
solve(equation, variable)
其中，也可以涉及到變數。
例如，要求解v - u - 3t^2 = 0(這裡為t的平方)，對於v，在這種情況下，應該書寫為 -
solve('v-u-3*t^2=0', 'v')
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
3*t^2 + u
roots函式用於求解代數中的代數方程，可以重寫上面的例子如下：
例如，要在等式x-5 = 0中求解x的值 -
roots([1, -5])
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
Trial>> roots([1, -5])
ans =
5
也可以這樣呼叫roots函式 -
y = roots([1, -5])
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
Trial>> y = roots([1, -5])
y =
5
solve函式也可以用來求解高階方程。通常用於求解二次方程。 該函式返回陣列中方程的根。
以下範例求解二次方程x^2 -7x +12 = 0(註：x^2表示x的平方)。建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
Trial>> eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is:
3
The second root is:
4
以下範例解決Octave中的二次方程x^2-7x +12 = 0。建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
s = roots([1, -7, 12]);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
Trial>> s = roots([1, -7, 12]);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
The first root is:
4
The second root is:
3
solve函式也可以解決高階方程。例如，下面演示求解(x-3)^2(x-7)= 0(註：(x-3)^2表示(x-3)的平方)的三次方程 -
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
3
3
7
在較高階方程的情況下，根很長，包含很多項。可以通過將這些根的數值轉換為double來獲得數值。 以下範例解決四階方程x^4 - 7x^3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0(註：x^4表示x的4次方)。
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
The first root is:
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 1)
The second root is:
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 2)
The third root is:
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 3)
The fourth root is:
root(z^4 - 7*z^3 + 3*z^2 - 5*z + 9, z, 4)
Numeric value of first root
1.0598
Numeric value of second root
6.6304
Numeric value of third root
-0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
-0.3451 + 1.0778i
請注意，最後兩個根是複數。
以下範例示解四階方程：x^4 - 7x3 + 3x^2 - 5x + 9 = 0。
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
v = [1, -7, 3, -5, 9];
s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
Trial>> v = [1, -7, 3, -5, 9];
s = roots(v);
% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Numeric value of first root
6.6304
Numeric value of second root
1.0598
Numeric value of third root
-0.3451 + 1.0778i
Numeric value of fourth root
-0.3451 - 1.0778i
solve函式也可用於生成包含多個變數的方程組的解。下面來看一個簡單的例子來說明這一點。
下面來求解方程式 -
5x + 9y = 5
3x – 6y = 4
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
x = s.x
y = s.y
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
x =
22/19
y =
-5/57
同樣，可以示解決更大的線性系統。 考慮以下一組方程式 -
x + 3y -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
還可以使用不同的方法來示解n未知數的n線性方程組。下面來看一個簡單的例子來說明這一點。
假設要示解方程式 -
5x + 9y = 5
3x – 6y = 4
這種線性方程組可以寫成單矩陣方程Ax = b，其中A是係數矩陣，b是包含線性方程右邊的列向量，x是表示解的方法的列向量。如下圖所示 -
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
ans =
1.157895
-0.087719
同樣，可以示解下面給出的較大的方程組 -
x + 3y -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
expand 和 collect函式分別擴充套件和集合方程。以下範例演示了這些概念 -
當使用許多符號功能時，應該宣告變數為符號。
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
syms x %symbolic variable x
syms y %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
ans =
x^2 + 4*x - 45
ans =
x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
2*cos(x)*sin(x)
ans =
cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
x^4 - 7*x^3
ans =
x^6 - 8*x^5 + 15*x^4
需要有symbolic包，它提供了expand和collect函式來分別擴充套件和集合方程。 以下範例演示了這些概念 -
當使用許多符號功能時，應該宣告變數是符號，但是Octave具有不同的方法來定義符號變數。注意使用的是Sin和Cos，它們是定義在symbolic包中的。
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic
% make symbols module available
symbols
% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)
執行檔案時，會顯示以下結果 -
ans =
-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =
210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =
sin((2.0)*x)
ans =
cos(y+x)
ans =
x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =
(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)
因子函式將表示式分解，簡化函式簡化表示式。 以下範例演示了這一概念 -
範例
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
f = factor(y^2*x^2,x)
simplify((x^4-16)/(x^2-4))
執行上面範例程式碼，得到以下結果 -
Trial>> factorization
ans =
[ x - y, x^2 + x*y + y^2]
f =
[ y^2, x, x]
ans =
x^2 + 4