Matlab整合整合
整合(或也叫作整合)涉及兩種本質上不同型別的問題。
- 第一種型別問題是給出了函式的導數，並且想要找到該函式。所以基本上扭轉了差異化的過程。 這種反向過程被稱為抗分化，或者找到原始函式，或者找到不確定的積分。
- 第二種型別問題是涉及相當多的非常小的數量，然後隨著數量的大小接近於零，而術語的數量趨向於無窮大。這個過程導致了定積分的定義。
確定的積分用於查詢區域，體積，重心，轉動慣量，由力完成的工作以及許多其他應用。
使用MATLAB找到不確定的積分
根據定義，如果函式f(x)的導數是f'(x)，那麼可以說f'(x)相對於x的不確定積分是f(x)。 例如，由於x^2的導數(相對於x)為2x，可以說2x的不確定積分是x^2。
在符號中 -
因此可相當於 -
不確定積分並不是唯一的，因為對於常數c的任何值，x^2 + c的導數也將是2x。
這用符號表示為 -
其中，c被稱為「任意常數」。
MATLAB提供了一個用於計算表示式積分的int命令。 為了得出一個函式的無限積分的表示式，它的寫法為 -
int(f);
例如，參照之前的例子 -
syms x
int(2*x)
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
x^2
範例1
在這個例子中，有一些常用表示式的積分。 建立指令碼檔案並在其中鍵入以下程式碼 -
syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
-cos(n*t)/n
ans =
(a*sin(pi*t))/pi
ans =
a^x/log(a)
範例2
建立指令碼檔案並在其中鍵入以下程式碼 -
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
請注意，
pretty函式返回表示式的更可讀格式。
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ----------- -
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
使用MATLAB查詢定積分
根據定義，定積分基本上是一個總和的極限。 我們使用定積分來查詢曲線和x軸之間的面積以及兩條曲線之間的面積。定量積分也可用於其他情況，其中所需數量可以表示為總和的極限。
通過傳遞要計算積分的極限，int函式可用於定積分。
參考公式 -
它的寫法是 -
int(x, a, b)
例如，要計算的值是 -
因此，可以書寫為 -
int(x, 4, 9)
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
ans =
65/2
以下是以上範例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));
可以使用Octave提供的quad()函式編寫另一個替代求解程式碼，如下所示：
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
範例1
下面來計算x軸和曲線y = x^3-2x + 5和縱坐標x = 1和x = 2之間的面積。
所需面積由公式計算 -
建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
a =
23/4
Area:
5.7500
以下是上面範例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));
可以使用Octave提供的quad()函式給出一個替代求解程式碼，如下所示：
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
Area:
5.7500
範例2
查詢曲線下面積：f(x)= x^2 cos(x)，對於-4≤x≤9。
建立一個指令碼檔案並寫下面的程式碼 -
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -
同時也會輸出以下內容 -
a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
Area:
0.3326
以下是上面範例的Octave寫法 -
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));