Matlab整合整合


整合(或也叫作整合)涉及兩種本質上不同型別的問題。

  • 第一種型別問題是給出了函式的導數,並且想要找到該函式。所以基本上扭轉了差異化的過程。 這種反向過程被稱為抗分化,或者找到原始函式,或者找到不確定的積分。
  • 第二種型別問題是涉及相當多的非常小的數量,然後隨著數量的大小接近於零,而術語的數量趨向於無窮大。這個過程導致了定積分的定義。

確定的積分用於查詢區域,體積,重心,轉動慣量,由力完成的工作以及許多其他應用。

使用MATLAB找到不確定的積分

根據定義,如果函式f(x)的導數是f'(x),那麼可以說f'(x)相對於x的不確定積分是f(x)。 例如,由於x^2的導數(相對於x)為2x,可以說2x的不確定積分是x^2

在符號中 -

因此可相當於 -

不確定積分並不是唯一的,因為對於常數c的任何值,x^2 + c的導數也將是2x

這用符號表示為 -

其中,c被稱為「任意常數」。

MATLAB提供了一個用於計算表示式積分的int命令。 為了得出一個函式的無限積分的表示式,它的寫法為 -

int(f);

例如,參照之前的例子 -

syms x 
int(2*x)

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =
 x^2

範例1

在這個例子中,有一些常用表示式的積分。 建立指令碼檔案並在其中鍵入以下程式碼 -

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =
 piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
 -cos(n*t)/n
 ans =
 (a*sin(pi*t))/pi
 ans =
 a^x/log(a)

範例2
建立指令碼檔案並在其中鍵入以下程式碼 -

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))

請注意,pretty函式返回表示式的更可讀格式。

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =

sin(x)


ans =

exp(x)


ans =

x*(log(x) - 1)


ans =

log(x)


ans =

(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5


                                    2             4 
  24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x) 
  ----------- + ------------- - -------------- + ----------- - 
     3125            625             125              5 

        3             5 

    4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x) 
     ------------- + ----------- 
          25              5

ans =

-1/(4*x^4)


ans =

tan(x)


        2 
  x (3 x  - 5 x + 1)

ans =

- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2


       6      5      4    3 
    7 x    3 x    5 x    x 
  - ---- - ---- + ---- + -- 
     12     5      8     2

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -



使用MATLAB查詢定積分

根據定義,定積分基本上是一個總和的極限。 我們使用定積分來查詢曲線和x軸之間的面積以及兩條曲線之間的面積。定量積分也可用於其他情況,其中所需數量可以表示為總和的極限。

通過傳遞要計算積分的極限,int函式可用於定積分。

參考公式 -

它的寫法是 -

int(x, a, b)

例如,要計算的值是 -

因此,可以書寫為 -

int(x, 4, 9)

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

ans =
 65/2

以下是以上範例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = x;

c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);

display('Area: '), disp(double(a));

可以使用Octave提供的quad()函式編寫另一個替代求解程式碼,如下所示:

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

範例1

下面來計算x軸和曲線y = x^3-2x + 5和縱坐標x = 1x = 2之間的面積。

所需面積由公式計算 -

建立指令碼檔案並鍵入以下程式碼 -

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

a =
23/4
Area: 
    5.7500

以下是上面範例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = x^3 - 2*x +5;

c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);

display('Area: '), disp(double(a));

可以使用Octave提供的quad()函式給出一個替代求解程式碼,如下所示:

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

Area: 

 5.7500

範例2

查詢曲線下面積:f(x)= x^2 cos(x),對於-4≤x≤9

建立一個指令碼檔案並寫下面的程式碼 -

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

MATLAB執行上述語句將返回以下結果 -

同時也會輸出以下內容 -

a =

8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)

Area: 
    0.3326

以下是上面範例的Octave寫法 -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");

f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));