二元樹簡介 - tw511教學網

什麼是二元樹？

二元樹是電腦科學中一種重要的資料結構，它在許多應用領域中都有廣泛的用途。本文將介紹二元樹的概念、性質、常見型別和應用。

二元樹（Binary Tree）是一種樹形資料結構，它由節點構成，每個節點最多有兩個子節點，通常稱為左子節點和右子節點。這兩個子節點可以為空，也可以包含資料或值。二元樹是一種層次結構，根節點位於樹的頂部，其他節點按照層級依次排列。

二元樹的性質

二元樹具有許多重要的性質，包括：

根節點（Root Node）： 二元樹的頂部節點稱為根節點，它是整棵樹的起點。
分支節點（Internal Node）： 除了葉子節點以外的節點都稱為分支節點，它們至少有一個子節點。
葉子節點（Leaf Node）： 葉子節點是沒有子節點的節點，它們位於樹的末梢。
父節點（Parent Node）： 有子節點的節點被稱為父節點。每個節點都有一個父節點，除了根節點。
子節點（Child Node）： 子節點是直接連線到父節點的節點。一個父節點可以有最多兩個子節點，即左子節點和右子節點。
深度（Depth）： 節點的深度是從根節點到該節點的路徑長度，根節點的深度為0。
高度（Height）： 二元樹的高度是從根節點到最深層葉子節點的最長路徑長度。樹的高度是整棵樹的高度。
度（Degree）： 節點的度是指其子節點的數量，對於二元樹，節點的度最大為2。
子樹（Subtree）： 子樹是樹中的任何節點及其所有後代節點形成的樹。子樹可以是原樹的一部分。

常見型別的二元樹

二元樹有許多不同型別的變體，其中一些最常見的包括：

二元搜尋樹（Binary Search Tree，BST）： 二元搜尋樹是一種特殊型別的二元樹，其中左子樹的值小於或等於根節點的值，右子樹的值大於根節點的值。這種有序性質使得BST在搜尋、插入和刪除操作上非常高效。
平衡二元樹（Balanced Binary Tree）： 平衡二元樹是一種二元搜尋樹，它確保樹的高度保持在較小範圍內，以提高搜尋效能。常見的平衡二元樹包括AVL樹和紅黑樹。
滿二元樹（Full Binary Tree）： 滿二元樹是一種每個節點都有0或2個子節點的二元樹。它的葉子節點都位於同一層。
完全二元樹（Complete Binary Tree）： 完全二元樹是一種除了最後一層外，其他層都被完全填充的二元樹。最後一層的節點從左向右填充。

二元搜尋樹

以下是一個簡單的Go語言實現的二元搜尋樹（Binary Search Tree，BST）範例。這個範例包括二元搜尋樹的基本操作，如插入、查詢和中序遍歷。

package main

import "fmt"

// TreeNode 表示二元搜尋樹的節點結構
type TreeNode struct {
	Value int
	Left  *TreeNode
	Right *TreeNode
}

// Insert 用於向BST中插入新的節點
func (root *TreeNode) Insert(value int) *TreeNode {
	if root == nil {
		return &TreeNode{Value: value}
	}

	if value < root.Value {
		root.Left = root.Left.Insert(value)
	} else if value > root.Value {
		root.Right = root.Right.Insert(value)
	}

	return root
}

// Search 用於在BST中搜尋特定值
func (root *TreeNode) Search(value int) *TreeNode {
	if root == nil || root.Value == value {
		return root
	}

	if value < root.Value {
		return root.Left.Search(value)
	}

	return root.Right.Search(value)
}

// InorderTraversal 用於執行中序遍歷BST
func (root *TreeNode) InorderTraversal() {
	if root != nil {
		root.Left.InorderTraversal()
		fmt.Printf("%d ", root.Value)
		root.Right.InorderTraversal()
	}
}

func main() {
	root := &TreeNode{Value: 10}
	root.Insert(5)
	root.Insert(15)
	root.Insert(3)
	root.Insert(7)
	root.Insert(12)
	root.Insert(18)

	fmt.Println("Inorder Traversal of BST:")
	root.InorderTraversal()
	fmt.Println()

	searchValue := 7
	if root.Search(searchValue) != nil {
		fmt.Printf("Found %d in BST.\n", searchValue)
	} else {
		fmt.Printf("%d not found in BST.\n", searchValue)
	}

	searchValue = 8
	if root.Search(searchValue) != nil {
		fmt.Printf("Found %d in BST.\n", searchValue)
	} else {
		fmt.Printf("%d not found in BST.\n", searchValue)
	}
}

在這個範例中，我們定義了一個TreeNode結構來表示BST的節點，以及用於插入和搜尋節點的方法。我們還實現了中序遍歷以演示BST中元素的有序輸出。在main函數中，我們建立了一個BST，插入了一些值，然後進行了搜尋操作並進行了中序遍歷。

平衡二元樹

平衡二元樹（Balanced Binary Tree）是一種特殊型別的二元樹，它的高度保持在較小範圍內，以確保樹的效能在搜尋、插入和刪除操作上都很好。其中一個常見的平衡二元樹是AVL樹。以下是一個用Go語言實現的簡單AVL樹範例：

package main

import (
	"fmt"
)

type TreeNode struct {
	Value       int
	Left, Right *TreeNode
	Height      int
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func height(node *TreeNode) int {
	if node == nil {
		return -1
	}
	return node.Height
}

func updateHeight(node *TreeNode) {
	node.Height = 1 + max(height(node.Left), height(node.Right))
}

func rotateRight(y *TreeNode) *TreeNode {
	x := y.Left
	T2 := x.Right

	x.Right = y
	y.Left = T2

	updateHeight(y)
	updateHeight(x)

	return x
}

func rotateLeft(x *TreeNode) *TreeNode {
	y := x.Right
	T2 := y.Left

	y.Left = x
	x.Right = T2

	updateHeight(x)
	updateHeight(y)

	return y
}

func getBalance(node *TreeNode) int {
	if node == nil {
		return 0
	}
	return height(node.Left) - height(node.Right)
}

func insert(root *TreeNode, value int) *TreeNode {
	if root == nil {
		return &TreeNode{Value: value, Height: 1}
	}

	if value < root.Value {
		root.Left = insert(root.Left, value)
	} else if value > root.Value {
		root.Right = insert(root.Right, value)
	} else {
		// Duplicate values are not allowed
		return root
	}

	updateHeight(root)

	balance := getBalance(root)

	// Left-Left case
	if balance > 1 && value < root.Left.Value {
		return rotateRight(root)
	}

	// Right-Right case
	if balance < -1 && value > root.Right.Value {
		return rotateLeft(root)
	}

	// Left-Right case
	if balance > 1 && value > root.Left.Value {
		root.Left = rotateLeft(root.Left)
		return rotateRight(root)
	}

	// Right-Left case
	if balance < -1 && value < root.Right.Value {
		root.Right = rotateRight(root.Right)
		return rotateLeft(root)
	}

	return root
}

func inorderTraversal(root *TreeNode) {
	if root != nil {
		inorderTraversal(root.Left)
		fmt.Printf("%d ", root.Value)
		inorderTraversal(root.Right)
	}
}

func main() {
	var root *TreeNode

	values := []int{10, 5, 15, 3, 7, 12, 18}

	for _, value := range values {
		root = insert(root, value)
	}

	fmt.Println("Inorder Traversal of AVL Tree:")
	inorderTraversal(root)
	fmt.Println()
}

在這個範例中，我們定義了一個TreeNode結構來表示AVL樹的節點，包括值、左子樹、右子樹和高度。我們還實現了插入操作，以確保樹的平衡性。在main函數中，我們建立了一個AVL樹，插入了一些值，然後進行了中序遍歷以顯示樹的元素按升序排列。

滿二元樹

滿二元樹（Full Binary Tree）作為一種特殊型別的二元樹，每個節點都有0或2個子節點，而且葉子節點都位於同一層。以下是一個用Go語言實現的滿二元樹範例：

package main

import (
	"fmt"
)

type TreeNode struct {
	Value  int
	Left   *TreeNode
	Right  *TreeNode
}

func NewTreeNode(value int) *TreeNode {
	return &TreeNode{Value: value}
}

func main() {
	root := NewTreeNode(1)
	root.Left = NewTreeNode(2)
	root.Right = NewTreeNode(3)
	root.Left.Left = NewTreeNode(4)
	root.Left.Right = NewTreeNode(5)
	root.Right.Left = NewTreeNode(6)
	root.Right.Right = NewTreeNode(7)

	fmt.Println("Inorder Traversal of Full Binary Tree:")
	inorderTraversal(root)
	fmt.Println()
}

func inorderTraversal(root *TreeNode) {
	if root != nil {
		inorderTraversal(root.Left)
		fmt.Printf("%d ", root.Value)
		inorderTraversal(root.Right)
	}
}

在這個範例中，我們定義了一個TreeNode結構來表示滿二元樹的節點，包括值、左子樹和右子樹。在main函數中，我們手動構建了一個滿二元樹，並執行了中序遍歷以顯示樹的元素。請注意，滿二元樹的特點是每個節點都有0或2個子節點，並且葉子節點都在同一層。這使得滿二元樹在某些應用中具有特殊的優勢。

完全二元樹

以下是一個用Go語言實現的完全二元樹範例。在完全二元樹中，除了最後一層，其他層都是滿的，最後一層的節點從左向右填充。

package main

import (
	"fmt"
)

type TreeNode struct {
	Value int
	Left  *TreeNode
	Right *TreeNode
}

func NewTreeNode(value int) *TreeNode {
	return &TreeNode{Value: value}
}

func main() {
	root := NewTreeNode(1)
	root.Left = NewTreeNode(2)
	root.Right = NewTreeNode(3)
	root.Left.Left = NewTreeNode(4)
	root.Left.Right = NewTreeNode(5)
	root.Right.Left = NewTreeNode(6)

	fmt.Println("Inorder Traversal of Complete Binary Tree:")
	inorderTraversal(root)
	fmt.Println()
}

func inorderTraversal(root *TreeNode) {
	if root != nil {
		inorderTraversal(root.Left)
		fmt.Printf("%d ", root.Value)
		inorderTraversal(root.Right)
	}
}

在這個範例中，我們定義了一個TreeNode結構來表示完全二元樹的節點，包括值、左子樹和右子樹。在main函數中，我們手動構建了一個完全二元樹，並執行了中序遍歷以顯示樹的元素。請注意，完全二元樹的特點是除了最後一層，其他層都是滿的，最後一層的節點從左向右填充。這種結構在一些應用中具有特殊的性質，例如在堆資料結構中的應用。

二元樹的應用

二元樹在電腦科學和程式設計中有廣泛的應用，包括：

二元搜尋樹的搜尋、插入和刪除操作： 用於高效地管理有序資料集合。
圖學： 用於構建場景圖、動畫和圖形渲染。
檔案系統： 檔案和目錄的組織通常以樹的形式表示，以實現高效的檔案檢索和管理。
資料壓縮： 哈夫曼樹（Huffman Tree）用於資料壓縮。
編譯器： 語法分析器使用語法樹來表示程式的結構，以進行編譯和優化。
網路路由： 網路路由演演算法使用樹結構來確定最佳路徑。
人工智慧： 決策樹用於模擬決策和行為。

二元樹的遍歷

二元樹的遍歷是一種常見的操作，用於存取樹中的所有節點。主要的遍歷方法包括：

前序遍歷（Preorder Traversal）： 從根節點開始，首先存取根節點，然後依次遍歷左子樹和右子樹。
中序遍歷（Inorder Traversal）： 從根節點開始，首先遍歷左子樹，然後存取根節點，最後遍歷右子樹。對於二元搜尋樹，中序遍歷可以得到有序的結果。
後序遍歷（Postorder Traversal）： 從根節點開始，首先遍歷左子樹和右子樹，最後存取根節點。
層序遍歷（Level-order Traversal）： 從樹的頂部開始，逐層遍歷節點，首先存取根節點，然後依次遍歷每一層的節點。

二元樹的遍歷是許多樹操作的基礎，它們可以用於搜尋、資料提取、樹的複製等任務。

宣告：本作品採用署名-非商業性使用-相同方式共用 4.0 國際 (CC BY-NC-SA 4.0)進行許可，使用時請註明出處。
Author: mengbin
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