01背包問題動態規劃

動態規劃的基本思想：

動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題，即我們平常所說的最優子結構性質。

動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法最大的區別是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的，即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解。

若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。

問題描述：

給定N中物品和一個背包。物品i的重量是Wi,其價值位Vi ，背包的容量為C。問應該如何選擇裝入背包的物品，使得轉入背包的物品的總價值為最大？？

在選擇物品的時候，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入背包或不裝入背包。不能講物品i裝入多次，也不能只裝入物品的一部分。因此，該問題被稱為0-1背包問題。

問題分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量為就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大價值，則可以得到如下的動態規劃函數:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   (a)  V(i,j)=V(i-1,j)    j<wi  

      (b)  V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }   j>wi

(1)式表明：如果第i個物品的重量大於背包的容量，則裝人前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價是相同的，即物品i不能裝入背包。

(2)式表明：如果第i個物品的重量小於背包的容量，則會有一下兩種情況：(a)如果第i個物品沒有裝入背包，則背包中物品價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j的背包中所取得的價值。(b)如果把第i個物品裝入背包，則背包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量位j-wi 的背包中的價值加上第i個物品的價值vi; 顯然，取二者中價值最大的作為把前i個物品裝入容量為j的背包中的最優解。

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