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數學模型（插值、擬合和微分方程）-python實現

2020-11-13 12:00:25
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插值、擬合和微分方程-python實現

問題1 車輛數量估計

題目描述

交通管理部門為了掌握一座橋樑的通行情況，在橋樑的一端每隔一段不等的時間，連續記錄1min內通過橋樑的車輛數量，連續觀測一天24h的通過車輛，車輛資料如下表所示。試建立模型分析估計這一天中總共有多少車輛通過這座橋樑。
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python 實現(關鍵程式)

def get_line(xn, yn):
        def line(x):
                index = -1
                # 找出x所在的區間
                for i in range(1, len(xn)):
                        if x <= xn[i]:
                                index = i - 1
                                break
                        else:
                                i += 1
                if index == -1:
                        return -100
                # 插值
                result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[
                        index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index]))
                return result
        return line
time = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8,
        9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17,
        18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]
num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25,
        12, 5, 10, 12, 7, 9, 28,
        22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]
# 分段線性插值函數
lin = get_line(time, num)
# time_n = np.arange(0, 24, 1/60)
time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)
num_n = [lin(i) for i in time_n]
sum_num = sum(num_n)
print("估計一天通過的車輛：%d" % sum_num)

結果

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問題2 舊車平均價格

題目描述

某年美國舊車價格的調查資料如下表所示，其中 x i x_i xi​表示轎車的使用年數， y i y_i yi​表示相應的平均價格。試分析用什麼形式的曲線擬合表中所給的資料，並預測使用4.5年後轎車的平均價格大致為多少?
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Python 實現(關鍵程式)

from scipy.optimize import curve_fit
def func(x, a, b, c):  # 指數函數擬合
    return a * (b**(x-1)) + c

year = np.arange(1, 11, 1)
price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204]

popt, pcov = curve_fit(func, year, price)
a = popt[0]
b = popt[1]
c = popt[2]
price_fit = func(year, a, b, c)

結果

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問題3 微分方程組求解

題目描述

求下列微分方程組(豎直加熱板的自然對流)的數值解
{ d 3 f d η 3 + 3 f d 2 f d η 2 − 2 ( d f d η ) 2 + T = 0 d 2 T d η 2 + 2.1 f d T d η = 0 \left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} \eta^{3}}+3 f \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}-2\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}\right)^{2}+T=0 \\ \frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{d} \eta^{2}}+2.1 f \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=0\end{array}\right. ⎩⎨⎧​dη3d3f​+3fdη2d2f​−2(dηdf​)2+T=0dη2d2T​+2.1fdηdT​=0​
已知當 η = 0 \eta=0 η=0時， f = 0 , d f d η = 0 , d 2 f d η 2 = 0.68 , T = 1 , d T d η = − 0.5 f=0, \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}=0, \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}=0.68, T=1, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=-0.5 f=0,dηdf​=0,dη2d2f​=0.68,T=1,dηdT​=−0.5 要求在區間[0,10]上畫出數值解的曲線。

Python實現(關鍵程式)

from scipy.integrate import solve_ivp
def natural_convection(eta, y):  # 將含有兩個未知函數的高階微分方程降階，得到由2+3個一階微分方程組成的方程組
    T1 = y[0]
    T2 = y[1]
    f1 = y[2]
    f2 = y[3]
    f3 = y[4]
    return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1

eta = np.linspace(0, 10, 1000)
eta_span = [0, 10]
init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68])

curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)

結果

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問題4 野兔數量

題目描述

某地區野兔的數量連續9年的統計數量(單位:十萬)如下表所示.預測t = 9, 10時野兔的數量。
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Python實現(關鍵程式)

import numpy as np

year = np.arange(0, 9, 1)
num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247]

fit = np.polyfit(year, num, 1)
print("線性擬合表示式：", np.poly1d(fit))
num_fit = np.polyval(fit, year)
plt.plot(year, num, 'ro', label='原始資料')
plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='擬合曲線')
year_later = np.arange(8, 11, 0.5)
num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]

結果

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