C++ complex複數類用法詳解

複數是 a+bi 形式的數，其中 a 和 b 是真數，在 C++ 程式碼中是浮點值，i 是根號 -1。a 被稱作複數的實數部分，b 乘以 i 被稱作虛數部分。

使用複數的程式一般都很專業，例如，複數可以用於電氣和電磁理論、數位信號處理，當然也可以用於數學。複數可以用來生成非常複雜的 Mandelbrot 集合和 Julia 集合的分形圖。

complex 標頭檔案定義了用於處理複數的功能。complex<T> 模板型別的範例表示的是複數，這裡定義了 3 個特化型別：complex<float>、complex<double>、complex<long double>。在這一節中，全部使用 complex<double>，但其他特化型別的操作是基本相同的。

生成表示複數的物件

complex<double> 型別的建構函式接受兩個引數，第一個引數是實部的值，第二個部分是虛部的值。例如：

std::complex<double> z1 {2, 5}; // 2 + 5i
std::complex<double> z; // Default parameter values, are 0 so 0 + 0i

它也有拷貝建構函式，因此可以按如下方式複製 z1:

std::complex<double> z2 {z1}; // 2 + 5i

顯然，我們需要複數常數以及複數物件，名稱空間 std::literals::complex_literals 中定義了 3 個運算子函數，在這個名稱空間中，名稱空間 literals 和 complex_literals 都是內聯定義的。在對  std::literals::complex_literals、std::literals 或 std::complex_literals 使用 using 指令之後，就可以存取用於複數常數的運算子函數。假設使用了一個或多個這種指令，並且 using std::complex 對這一節餘下的程式碼都有效。

運算子 ""i() 函數定義了實部為 0 的 complex<double> 型別的常數。因此，3i 是一個等同於 complex<double>{0，3} 的常數。當然，可以用實部和虛部表示複數。例如：

z = 5.0 + 3i; // z is now complex<double>{5, 3}

這展示了如何定義兩部分都是非零值的複數，並順便說明已經為複數物件實現了賦值運算子。可以對 complex<float> 常數使用字尾if，對 complex<long double> 常數使用字尾il，例如 22if 或 3.5il。這些字尾是由函數 operator""if() 和 operator""il() 定義的。注意，不能寫成 1.0+i 或 2.0+il，因為這裡的 i 和 il 會被解釋為變數名，必須寫成 1.0 +li 和 2.0+1.0il。

所有的複數型別都定義了成員函數real()和imag()，它們可以用來存取物件的實部或虛部，或者用提供的引數設定這些部分。例如：

complex<double> z{1.5, -2.5}; // z: 1.5 - 2.5i
z.imag(99); // z: 1.5 + 99.0i
z.real(-4.5); // z: -4.5 + 99.0i
std::cout << "Real part: " << z.real()<< " Imaginary part: " << z.imag()<< std::endl;
// Real part: -4.5 Imaginary part: 99

real() 和 imag() 接受引數的版本什麼都不會返回。

有為複數物件實現流的插入和提取的非成員函數模板。當從流中讀取一個複數時，它可能只有實部，例如 55，或者括號中只有實部，例如(2.6)，或者實部和虛部在由一個逗號隔開的括號中，例如(3,-2)。如果只提供了實部，虛部會為 0。下面是一個範例：

complex<double> z1, z2, z3; // 3 default objects 0+0i
std:: cout << "Enter 3 complex numbers: ";
std::cin >> z1 >> z2 >> z3;    // Read 3 complex numbers
std::cout << " z1 = " << z1 <<" z2 = " << z2 << " z3 = "<< z3 << std::endl;

下面是範例的輸入和輸出結果：

Enter 3 complex numbers: -4 (6) (-3, 7)
z1 = (-4,0) z2 = (6,0) z3 = (-3,7)

如果輸入的一個複數沒有括號，就不會有虛部。但是，在括號中可以省略虛部。複數的輸出周圍總是有括號，虛部即使為 0 也會被輸出。

複數的運算

complex 類別範本為有複數運算元的二元運算子 +、-、*、/ 及一元 + 和 - 運算子定義了非成員函數。成員函數定義了 +=、-=、*= 和 /=。下面是使用它們的一些範例：

complex<double> z {1,2};    // 1+2i
auto z1 = z + 3.0;  // 4+2i
auto z2 = z*z + (2.0 + 4i); // -1+8i
auto z3 = z1 - z2;  // 5-6i
z3 /= z2;   // 815385-0.523077i

注意，複數物件和數值常數之間的運算需要數值常數是正確的型別。不能將整數常數加到 complex<double> 物件上；為了能夠進行這個運算，必須寫成 2.0。

複數上的比較和其他運算

一些非成員函數模板可以用來比較兩個複數物件相等或不相等。也有 == 和 !=運算可以用來比較複數物件和數值，這裡數值會被看作虛部為 0 的複數。為了相等，所有的部分都必須相等，如果運算元的實部或虛部不同，它們就不相等。例如：

complex<double> z1 {3,4};   // 3+4i
complex<double> z2 {4,-3};  // 4-3i
std::cout << std::boolalpha<<(z1 == z2) << " "  // false
<< (z1 != (3.0 + 4i)) << " "  // false
<< (z2 == 4.0 - 3i) << 'n';  // true

註釋中的結果很清楚。注意在最後一個比較中，編譯器會將 4.0-3i 看作複數。

另一種比較複數的方法是比較它們的量。各部分值和複數的實部及虛部都相同的向量的量和複數相同，是兩部分平分和的平方根。非成員函數模板 abs() 接受 complex<T> 型別的引數，並返回一個T型別的量。下面是一個將 abs() 函數應用到前面的程式碼段中定義的 z1 和 z2 上的範例：

std::cout << std::boolalpha
<< (std::abs(z1) == std::abs(z2))    // true
<< " " <<std::abs(z2 + 4.0 + 9i);    // 10

最後的輸出值是 10，因為作為 abs() 的引數的表示式的計算結果是 (8.0+6i)；82 和 62 是 100，平方根是 10。

• norm() 函數模板會返回復數的量的平方。
• arg() 模板會返回以弧度為單位的相角，是複數 z 對應的 std::atan(z.imag()/z.real())。
• conj() 函數模板會返回共軛複數，是 a+bi 和 a-bi。
• polar() 函數模板接受量和相角作為引數，並返回和它們對應的複數物件。
• prqj() 函數模板返回的複數是複數引數在黎曼球上的投影。

一些非成員函數模板提供了一整套的三角函數，並為複數引數提供了雙曲函數。也有用於複數引數的 cmath 版本的函數 exp()、pow()、log()、log10() 和 sqrt()。下面是一個有趣的範例：

complex<double> zc {0.0, std::acos(-1)};
std::cout << (std::exp (zc) +1.0) << 'n'; // (0, 1.22465e-16) or zero near enough

acos(-1) 是 π，所以這揭示了歐拉方程令人震驚的真相，π 和歐拉數 e 是有關聯的：e^iπ+1=0。