2020年中國研究生數學建模競賽D題
無人機叢集協同對抗
新一代人工智慧技術和自主技術快速走向戰場，將催生新型作戰力量，顛覆傳統戰爭模式，未來戰爭必將是智慧化戰爭。無人機叢集作戰作為智慧作戰的重要形式，正在嶄露頭角。通過多架無人機協同偵察、協同探測、協同跟蹤、協同攻擊、協同攔截等，共同完成較複雜的作戰任務。
現考慮紅、藍雙方的無人機叢集在平面區域內的協同對抗問題。藍方作為進攻方，希望突破紅方無人機的攔截，成功抵達目的地遂行軍事行動；紅方則希望在給定的區域內完成對藍方無人機的攔截，阻止藍方的突防。本賽題討論的對抗區域約定為圖1所示的矩形區域，攻擊縱深即之間的距離為，藍方無人機的飛行軌跡不能越過、兩邊，即考慮的是攻擊通道（突防走廊）頻寬有一個限定約束的情形，通道頻寬即之間的距離記為。藍方無人機的速度為，最小轉彎半徑為；紅方無人機的速度為，最小轉彎半徑為；紅藍雙方無人機的速度保持不變，運動的方向可根據機動策略的需要隨時改變，但受轉彎半徑的限制。
圖1 紅方兩個無人機叢集攔截一架藍方突防無人機示意圖
本賽題只討論平面上的紅藍雙方對抗問題，即紅藍雙方的無人機均在同一高度上機動飛行。雙方無人機均裝載有探測裝置和資料鏈，能夠準確探測對方無人機和己方無人機的實時位置。鑑於藍方無人機在機動速度上具有優勢，紅方考慮通過多無人機的協同，即通過數量上的優勢部分彌補效能上的劣勢，以提高己方的對抗效果。紅方執行攔截任務的無人機由運載機攜帶至攻擊位置，然後根據對抗需要發射一定數量的無人機，組成無人機叢集與藍方突防無人機對抗。如圖1所示的對抗狀態，紅方為阻止藍方無人機的突防，分別由運載機和各發射5架無人機組成兩個無人機叢集遂行攔截任務。當藍方突防無人機與紅方至少2架無人機的距離均小於時，就認為紅方成功攔截了藍方突防無人機。同時，根據任務要求，藍方無人機需在內越過邊界，否則視為突防失敗。紅藍雙方都想充分利用自身的優勢，通過運用最優機動策略以實現突防與攔截的目的。
紅方無人機叢集可以根據實際需要進行編隊飛行，如圖2所示，紅方無人機叢集採用了其中的一種隊形，5架無人機位置近似分佈在一個圓周上，任何相鄰兩架無人機的間距相同。為控制、通訊以及相互避撞的需要，要求紅方任何兩架無人機的間距需大於，每一架無人機與本叢集中至少兩架無人機的距離不超過。紅方運載機與所屬無人機叢集中至少一架無人機的距離不超過，與任何一架無人機的距離需大於，同時為安全需要，與藍方的突防無人機的距離需大於。紅方運載機的速度為，轉彎半徑不小於。紅方運載機和無人機的飛行軌跡不受邊界的限制。
圖2 紅方運載機發射的無人機組成的無人機叢集編隊示意圖
為敘述方便，運載機發射的無人機編號記為，因此圖2中5架無人機編號分別記為、、、、。運載機發射的無人機編號記為，其餘類推。無人機叢集初始時刻的位置分佈採用位於一個圓周上均勻分佈。實際中，運載機佈設無人機叢集需要一定的時間，為簡化計，本賽題暫不考慮這一時限，可視為瞬間佈設好無人機叢集，且滿足相關約束條件。在對抗過程中不要求全程按照某一固定隊形飛行，可根據需要隨時調整隊形。
請你們團隊通過建立數學模型，研究下列問題：
問題1 如圖3所示，對抗伊始紅方2個無人機叢集的圓周中心分別位於和，圓周半徑為，其中，，。試建模分析藍方無人機處於矩形區域內哪些位置時，無論紅方無人機採用什麼樣的追擊策略，藍方無人機總能採用合適的策略以躲避紅方的攔截，實現成功突防；討論藍方無人機相應的最優突防策略。
圖3 紅方無人機叢集初始中心位置示意圖
問題2 如圖4所示，對抗伊始藍方突防無人機位於邊界的中心點，紅方2個無人機叢集的圓周中心分別位於和，圓周半徑為，其中和位於邊界上，具體位置根據需要確定。試建模分析是否存在一個通道頻寬的下限，當實際通道頻寬比大時，藍方無人機一定能突破紅方無人機叢集的攔截；給出此種情形下藍方無人機時間最短的突防策略。
圖4 紅藍雙方無人機對抗初始位置示意圖
問題3 紅方每架運載機可分兩個波次共發射10架無人機，組成兩個無人機叢集遂行攔截任務，每個無人機叢集的無人機數量不少於3架。每一波次發射時無人機叢集初始隊形如圖2所示的圓周構型，運載機與圓周中心的距離為，隨後無人機叢集的隊形可根據需要調整，但要求滿足相應的間距約束。如圖5所示，對抗伊始，藍方無人機位於邊界的中心，通道頻寬；紅方兩架運載機分別位於邊界上點 和點，並開始發射第一波次的無人機叢集，運載機和無人機叢集中心具體位置根據需要確定。運載機第二波次發射無人機叢集時，必須保證運載機與第一波次發射的無人機叢集滿足間距上的約束。討論紅方兩架運載機兩個波次發射的無人機數量、每架運載機第二波次發射的時刻和位置以及第二波次發射的無人機叢集的中心位置，以實現最優的攔截效果；進一步具體建模分析是否存在一個通道頻寬的上限，當實際通道頻寬小於時，無論藍方無人機採用什麼樣的突防策略，紅方無人機叢集均存在相應的攔截策略，在區域內成功阻止藍方無人機的突防。
圖5 紅方運載機發射兩個波次無人機叢集攔截示意圖
問題4 如圖6所示，通道頻寬，藍方3架突防無人機組成突防叢集從矩形邊界一側開始突防（任2架突防無人機的間距需大於），紅方5架運載機各攜帶10架無人機，從邊界一側同時開始遂行協同攔截任務。紅方每架運載機分兩個波次發射無人機，分別組成兩個無人機叢集，每個叢集的無人機數量不少於3架；每架運載機第一波次發射無人機的時刻為初始對抗時刻，與所屬無人機叢集幾何構型圓周中心的距離為。紅方運載機初始位置、紅方運載機發射的第一個波次的無人機叢集中心位置、紅方運載機發射第二波次無人機叢集的時刻和位置、第二波次發射的無人機叢集中心位置、兩個波次無人機數量以及藍方突防無人機初始位置根據需要確定。藍方希望儘可能多的無人機突防成功，紅方則希望成功攔截儘可能多的藍方無人機。試討論紅方最優攔截策略和藍方最優突防策略。
圖6 紅方5架運載機攜帶無人機攔截藍方3架無人機對抗示意圖