2020年中國研究生數學建模競賽F題

飛行器質心平衡供油策略優化研究

某一類飛行器攜帶有多個油箱，在飛行過程中，通過若干個油箱的聯合供油以滿足飛行任務要求和發動機工作需求。在任務執行過程中，飛行器的質心變化對飛行器的控制有著重要的影響，各個油箱內油量的分佈和供油策略將導致飛行器質心的變化，進而影響到對飛行器的控制。因此，制定各油箱的供油策略是這類飛行器控制的一項重要任務，這裡，油箱的供油策略可用其向發動機或其它油箱供油的速度曲線來描述。
假設該類飛行器一共有個油箱，各油箱供油示意圖如圖1所示：

圖1：飛行器油箱供油示意圖
飛行器的結構（如油箱的位置、形狀、尺寸、供油關係、供油速度限制等）影響著油箱的供油策略和飛行器的質心變化。為簡化問題，對飛行器的結構和相關供油限制作出以下假設和要求：

油箱均為長方體且固定在飛行器內部（如圖1所示），設第個油箱內部長、寬、高分別為,和，。長、寬、高的三個方向與飛行器座標系的x,y,z軸三個方向平行。
在飛行器座標系下（座標系描述見附錄），飛行器（不載油）質心為（0，0，0），第個空油箱中心位置為，。飛行器（不載油）總重量為。
第i個油箱的供油速度上限為 (>0)，。每個油箱一次供油的持續時間不少於60秒。
主油箱2、3、4、5可直接向發動機供油，油箱1和油箱6作為備份油箱分別為油箱2和油箱5供油，不能直接向發動機供油。
由於受到飛行器結構的限制，至多2個油箱可同時向發動機供油，至多3個油箱可同時供油。
飛行器在執行任務過程中，各油箱聯合供油的總量應至少滿足發動機的對耗油量的需要（若某時刻供油量大於計劃耗油量，多餘的燃油可通過其它裝置排出飛行器），發動機在每個時刻的耗油速度可用一條耗油速度曲線表示，圖2給出了發動機執行某次任務時的計劃耗油速度示意圖：

圖2: 某次任務中發動機計劃耗油速度曲線
7. 飛行器在飛行過程中可能發生姿態改變，主要是飛行航向上的上下俯仰或左右偏轉。為簡化問題，假設本題目中飛行器姿態的改變僅考慮平直飛與俯仰情況。飛行器的俯仰將導致各油箱相對地面的姿態發生傾斜，在重力作用下，油箱的燃油分佈也隨之發生變化，從而使得飛行器質心發生偏移。油箱姿態變化示意圖如圖3所示，左圖為飛行器在地面時油箱的狀態，右圖虛線代表油箱姿態改變後燃油水平面。飛行器姿態變化的相關座標系約定請參見附錄。

圖3：油箱姿態變化示意圖
附件1給出了飛行器的相關引數，附件2-附件5給出了該類飛行器在執行某任務過程中飛行和控制的相關資料，請你們團隊根據任務要求，建立數學模型，設計演演算法，並分析演演算法的有效性和複雜度，完成以下問題：
問題1. 附件2給出了某次任務中飛行器的6個油箱的供油速度及飛行器在飛行過程中的俯仰角變化資料，每秒記錄一組資料（下同）。請給出該飛行器在此次任務執行過程中的質心變化曲線，並將其質心在飛行器座標系下的位置資料按時間（每秒一組）先後順序存入附件6結果表「第一問結果」中。
問題2. 附件3給出了某次任務的飛行器計劃耗油速度資料，與飛行器在飛行器座標系下的理想質心位置資料。根據任務需求，在飛行器始終保持平飛(俯仰角為0)的任務規劃過程中，請為飛行器制定該次任務滿足條件(1)(6)的6個油箱供油策略，使得飛行器每一時刻的質心位置與理想質心位置的歐氏距離的最大值達到最小, i.e,
。
請給出飛行器飛行過程中6個油箱各自的供油速度曲線和4個主油箱的總供油速度曲線(時間間隔為1s)、以及飛行器瞬時質心與理想質心距離的最大值和4個主油箱的總供油量，並將6個油箱的供油速度資料按時間（每秒一組）先後順序存入附件6結果表「第二問結果」中。
問題3. 假定初始油量未定，飛行器其他相關引數如附件1所示，附件4給出了某次任務的飛行器計劃耗油速度資料，與飛行器在飛行器座標系下的理想質心位置資料。在飛行器始終保持平飛(俯仰角為0)的任務規劃過程中，請為飛行器制定該次任務滿足條件(1)(6)的6個油箱初始載油量及供油策略，使得本次任務結束時6個油箱剩餘燃油總量至少1m3，並且飛行器每一時刻的質心位置與理想質心位置的歐氏距離的最大值達到最小, i.e,
。
請給出6個油箱的初始載油量、飛行器飛行過程中6個油箱的供油速度曲線和4個主油箱的總供油速度曲線(時間間隔為1s)、以及飛行器質心與理想質心距離的最大值和4個主油箱的總供油量。請將6個油箱的初始油量存入附件6結果表「第三問結果」中的提示位置，並將6個油箱的供油速度資料按時間（每秒一組）先後順序存入附件6結果表「第三問結果」中。
問題4. 在實際任務規劃過程中，飛行器俯仰角隨時間變化。附件5給出了飛行器俯仰角的變化資料和耗油速度資料。請為本次任務制定油箱供油策略，使得飛行器瞬時質心與飛行器(不載油)質心的最大距離達到最小，即
。
請繪出飛行器飛行過程中6個油箱各自的供油速度曲線，再將4個主油箱的總供油速度曲線(時間間隔為1s)與計劃耗油速度曲線繪於一個圖中，給出飛行器瞬時質心與飛行器(不載油)質心的最大距離偏差以及4個主油箱的總供油量，並將6個油箱的供油速度資料按時間（每秒一組）先後順序存入附件6結果表「第四問結果」中。

附錄
約定兩個座標系如下：
慣性座標系O-XYZ：飛行器在地面上時，以飛行器（不載油）的質心為原點O，飛行器縱向中心軸為X軸（飛行器在地面上縱向中心軸為水平方向），以飛行器前方為正向，重力方向的反方向為Z軸正向，通過右手法則確定Y軸。
飛行器座標系O(t)-X(t)Y(t)Z(t)：在t時刻，以飛行器（不載油）質心位置為原點O(t)，飛行器縱向中心軸為X(t)軸，以飛行器前方為正向，Y(t)軸垂直於X(t)軸所在的飛行器縱剖面，且O(t)- X(t)Y(t)組成右手座標系，通過右手法則確定Z(t)軸。
飛行器t時刻俯仰角：飛行器座標系O(t)-X(t)Y(t)Z(t)中的X(t)軸與慣性座標系O-XYZ中O-XY水平面的夾角，X(t)軸正方向在重力方向分量與重力方向相反時為正。
在本題中，在地面上時 (t=0)的飛行器座標系與慣性座標系重合。由於在本問題中不考慮偏航和滾轉飛行，所以飛行器座標系O(t)-X(t)Y(t)Z(t)中的Y(t)軸正向與慣性座標系O-XYZ中的Y軸正向始終保持一致。本題目附件中涉及座標系的資料中，除俯仰角外，其他都在飛行器座標系下給出。

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