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2020年大學生數學建模A題：爐溫曲線

2020-09-16 13:00:20

前言

比賽完第一天就開始著手寫這篇文章，思維可能有點侷限性，如果有更好的思路和想法可以評論出來，一起討論學習。

完整所有的題目下載（無需積分）：2020數學建模賽題

題目整理：

同時已經對該題目給出如下的分析和整理

  • 黃色代表：題目已給出的條件
  • 紫色代表：需要注意考慮的點
  • 藍色代表：需要解決的問題

題目圖片

題目分析

作為工科生，尤其是專業就是學習這方面，一看題目就能快速理解回焊爐的整體工作流程，並著手開始思考分析題目的問題和其中涉及的難點。

關於熱傳遞的三種基本方式：

  1. 熱傳導（傅立葉熱傳導方程）
    方程式

  2. 熱對流（牛頓冷卻公式）
    熱對流公式

  3. 熱輻射
    熱輻射公式

參考自：[SMT再流焊溫度場的建模與模擬_黃丙元]

PCB板基本材料特性

PCB板基本參數

參考自：[PCB板熱特性分析與研究_鄧志勇]

問題一

思路一：

此時根據 [基於Ansys_Icepak的板級迴流焊接建模與模擬_姚煥] 論文給出的假設：
熱傳遞的省略
此時假設研究物件為全熱風迴流焊爐，只考慮熱對流和熱輻射兩種，忽略熱傳遞的計算，也就是不考慮中間的5cm間隔之間的熱傳導。

關鍵點：根據附件和溫區溫度，反推求出每個溫區的對流傳熱係數（hc）

  1. 先使用附件中的溫度時間變化曲線為條件，使用：各溫區熱能 = 各溫區熱對流 + 各溫區熱輻射
    公式

    列出公式反推出每個溫區的傳熱係數（hc）

  2. 此時各溫區的hc已知，利用 Q = 各溫區熱對流 + 各溫區熱輻射 計算得出1-5小溫區、6小溫區、7小溫區、8-9小溫區的熱量；

能量計算

  1. 將各溫區能量對各溫區的時間進行微分，求出當t->0時，熱量的大小；
    微分

  2. 此時根據第一時刻溫度25℃，以t=0.5進行積分，算出0.5s吸收的熱量，轉換為溫度；
    積分

  3. 寫一個遞迴函數，以第一時刻25℃為邊界起始條件，不斷進行遞迴，即可求出後面每隔0.5s的溫度值；

  4. 將所有對應的時間和溫度值使用MATLAB放入一個二維矩陣，然後通過curve fitting擬合出來最終的方程式；

  5. 根據將要求的對應溫區的中點時間計算得出；
    時間計算

  6. 將時間帶入擬合出來的方程即可得到每個對應中點的溫度值；
    能量計算

  7. 將時間和擬合方程式用plot即可畫出爐溫曲線；

此時做出的曲線不出意外應該是直線那種，不過因為斜率不同，導致變化，但不平滑。


思路二：

即考慮每個小溫區間的5cm間隔

  1. 此時只需要在思路一的基礎上使用熱傳導方程；
  2. 因為能量總是由能量高的地方向能量低的方向流動；
  3. 使用熱傳導方程算出下一個小溫區向前一個小溫區的熱量即為5cm間隔的熱量；
  4. 把5cm這段時間內的熱量根據前一個溫區的末尾溫度為起始邊界條件，即可算出5cm間隔內每隔0.5s的溫度值；


問題二

  1. 根據第一問得出的各溫區傳熱係數、題目的製程界限和題目中的溫度，還有過爐速度的調節範圍為65~100，列出相應的約束條件；
  2. MIN過爐速度為目標函數，建立相應的單目標最佳化數學模型，使用LINGO求得最優過爐速度；

問題三

思路一：

假設：

  • 爐溫曲線超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積：A

針對此問題，可以很明確知道這一問是多目標多優化的模型問題，我的想法如下：

  1. 使用控制變數法來求解；
  2. 同樣使用第二問的一些約束條件為基準；
  3. 先使用附錄和題目一、二問的各溫區溫度求平均做為該題設定的初始化溫度；
  4. 控制溫度先不變，然後使用二分法對回爐速度進行一個合理範圍的劃分和得出；
  5. 關鍵點：此時以覆蓋面積A MIN最小為目標函數，反推求出每個溫區的設定範圍；
  6. 此時因為回爐速度、各區間溫度都在很小的範圍內，計算量大大減小；
  7. 然後使用三重回圈迭代，求出面積最小時的回爐速度、各溫區的溫度。
思路二：

無腦暴力破解法

此方法計算量大，消耗時間，並不推薦。

此方法簡單，在回爐速度、各溫區溫度限定範圍內，以覆蓋面積A MIN最小為目標函數，一直跑的試，直到跑完後，比較得出相應最小面積下的的各溫區溫度和最佳鍋爐速度。


問題四

此問題，想法不多，但可以分享下：

  1. 假設出 t=開始高於217℃的瞬時的時間 和 t1=開始低於217℃的瞬時的時間；
  2. 可以知道：溫度上升時的導數和下降時的導數相等即為曲線對稱；
  3. 所以從兩端t和t1向中間(t+t1)/2的時間走，進行求導比較；
  4. 此時應該可以繼續使用問題3的思路一進行求解了。

此問題，說是問題3的優化，也有那麼點感覺，但又沒什麼想法，反正蠻難受的。

參考文獻

1. 表面貼裝工藝生產線上迴流焊曲線的優化與控制_高金剛
2. SMT溫度場的數學模型_黃丙元
3. SMT再流焊溫度場的建模與模擬_黃丙元
4. PCB板熱特性分析與研究_鄧志勇
5. XX線路板表面貼裝焊接工藝研究_張疏影
6. 基於Ansys_Icepak的板級迴流焊接建模與模擬_姚煥
7. 牛頓冷卻定律及其實際應用_郭文傳
8. 基於加熱機理分析的迴流焊過程模擬建模與有限元分析_宋巍
9. 多層印刷電路板元件結構的熱_力分析_吳許傑
10.印製電路製程過程中互連區域的熱力學模擬研究_曾亮

結束

多多少少寫了一下午，大體提供一下我的想法和做題的思路，具體的程式碼論文也就不放了，菜雞文章，同時後期有什麼也會一直修改文章，希望大家多多評論思考呀！！！
如果有任何問題，歡迎留言糾正，秉著學習的態度，大家一起思考解決。☺