進位制轉換

所謂進位制轉換，就是將一種進位制的數位轉換為另一種進位制的數位。數位的表示形式雖然改變了，但是數位的值並沒有變。

這裡我們講解兩種方法，第一種是簡單的口演算法，第二種是複雜的公式法。

進位制轉換口演算法

我們來思考一個問題：為什麼八進位制數 17 對應的十進位制數是 15？我們看八進位制數 17 中的 7，這個 7 是沒有進位的，它同十進位制數 7 是一樣的，因為它是在個位。而八進位制數 17 中的 1，它能進一是因為有 8 才進一的，所以這個 1 代表的就是十進位制的 8。所以一個 8 和一個 7 加起來就是 15，這就是為什麼八進位制數 17 對應的十進位制數是 15 的原因。

現在我來考考讀者，看讀者能不能立刻回答出來。八進位制數 23 對應的十進位制數是多少？十進位制數 34 對應的八進位制數是多少？

同樣，八進位制數 23 中的 3 和十進位制數 3 是一樣的，而 2 說明進了兩次位，有 8 才能進一次，進了兩次說明是十進位制的 16，所以 16 和 3 加起來就是 19。因此八進位制數 23 對應的就是十進位制數 19。

十進位制數 34 裡有 4 個 8，餘 2，所以十進位制數 34 對應的就是八進位制的 42。

我再來問問大家，看大家能不能舉一反三：十六進位制的 3D 對應的十進位制是多少？十進位制的 83 對應的十六進位制是多少？

方法是相同的，十六進位制數 3D 中的 D 表示的是十進位制的 13，而十六進位制達到 16 才能進一次，數位 3 說明進了 3 次，即 48，13 和 48 加起來就是 61。因此，十六進位制數 3D 就對應十進位制數 61。同樣，十進位制 83 中有 5 個 16，餘 3，所以十進位制數 83 就是十六進位制數 53。

如果是八進位制和十六進位制相互轉換的話，因為它們都跟十進位制有關係，所以可以將十進位制當作一個橋樑，先轉換成十進位制，然後再轉換成另一個進位制。

以上的口算方法實際上就是進位制轉換的本質和奧秘的總結。但是用口算方法只能計算比較小的數位，當數位比較大的時候還是得在紙上算。之所以沒有講如何用口算進行二進位制轉換，原因就是二進位制的計算量很大，不適合口算。介紹口算方法的主要目的是想讓大家體會進位制轉換的本質，從而能夠深刻理解下面所講的公式法。

進位制轉換公式法

以上講的是進位制轉換的本質，下面系統地講一下進位制轉換。在閱讀本節之前建議大家先掌握上節的內容，這樣效率會更高，理解會更深刻。

1) r 進位制轉換成十進位制

r 進位制數 a_n a_n–1…a₁ a₀ 對應的十進位制數為：

a_n×rⁿ + a_n–1×r^n–1 + … + a₁×r¹ + a₀×r⁰

下面給大家舉幾個例子：

• （1011011）₂=1×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=64+0+16+8+0+2+1=91
• （356）₈=3×8²+5×8¹+6×8⁰=192+40+6=238
• （2FB）₁₆=2×16²+15×16¹+11×16⁰=512+240+11=763

2) 十進位制轉換成 r 進位制

方法：除 r 取餘數，直至商為零，餘數倒序排序。

下面給大家舉個例子：十進位制 185 分別轉換成二進位制、八進位制和十六進位制。

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