Kruskal演算法

Kruskal演算法用於查詢連線加權圖的最小生成樹。該演算法的主要目標是通過使用哪個來找到邊的子集，可以遍歷圖的每個頂點。Kruskal演算法遵循貪婪的方法，在每個階段找到最佳解決方案，而不是專注於全域性最優。

Kruskal演算法如下。

第1步：建立一個森林，使每個圖形都是一個單獨的樹。
第2步：建立包含圖表所有邊緣的優先順序佇列Q。
第3步：重複第4步和第5步，而Q不為空。
第4步：從Q中刪除邊
第5步：如果在步驟4中獲得的邊連線兩個不同的樹，則將其新增到森林中(用於將兩個樹組合成一個樹)。
    其他
    丟棄邊
第6步：結束

範例：
將Kruskal演算法應用於如下圖表。

解決方案：

邊的權重如下：

根據權重對邊進行排序。

開始構建樹，將AB新增到MST;

將DE新增到MST;

將BC新增到MST;

下一步是新增AE，但不能新增它，因為它會導致迴圈。
要新增的下一個邊是AC，但不能新增，因為它會導致迴圈。
要新增的下一個邊是AD，但無法新增，因為它將包含一個迴圈。
因此，最終的MST是步驟4中所示的MST。
MST的成本 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10。

使用C++實現上面演算法，程式碼如下所示 -

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <utility>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
const int MAX = 1e4 + 5;  
int id[MAX], nodes, edges;  
pair <long long, pair<int, int> > p[MAX];  

void init()  
{  
    for(int i = 0;i < MAX;++i)  
        id[i] = i;  
}  

int root(int x)  
{  
    while(id[x] != x)  
    {  
        id[x] = id[id[x]];  
        x = id[x];  
    }  
    return x;  
}  

void union1(int x, int y)  
{  
    int p = root(x);  
    int q = root(y);  
    id[p] = id[q];  
}  

long long kruskal(pair<long long, pair<int, int> > p[])  
{  
    int x, y;  
    long long cost, minimumCost = 0;  
    for(int i = 0;i < edges;++i)  
    {  
        x = p[i].second.first;  
        y = p[i].second.second;  
        cost = p[i].first;  
        if(root(x) != root(y))  
        {  
            minimumCost += cost;  
            union1(x, y);  
        }      
    }  
    return minimumCost;  
}  

int main()  
{  
    int x, y;  
    long long weight, cost, minimumCost;  
    init();  
    cout <<"Enter Nodes and edges";  
    cin >> nodes >> edges;  
    for(int i = 0;i < edges;++i)  
    {  
        cout<<"Enter the value of X, Y and edges";  
    cin >> x >> y >> weight;  
        p[i] = make_pair(weight, make_pair(x, y));  
    }  
    sort(p, p + edges);  
    minimumCost = kruskal(p);  
    cout <<"Minimum cost is "<< minimumCost << endl;  
    return 0;  
}

執行上面範例程式碼，得到以下結果：

Enter Nodes and edges5
5
Enter the value of X, Y and edges5 
4
3
Enter the value of X, Y and edges2
3
1
Enter the value of X, Y and edges1
2
3
Enter the value of X, Y and edges5
4
3
Enter the value of X, Y and edges23
3
4
Minimum cost is 11