【調變解調】VSB 殘留邊帶調幅

說明

學習數位訊號處理演演算法時整理的學習筆記。同系列文章目錄可見《DSP 學習之路》目錄，程式碼已上傳到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介紹 VSB 殘留邊帶調幅訊號的調變與解調，內附全套 MATLAB 程式碼。

說明
1. VSB 調變演演算法
- 1.1 演演算法描述
- 1.2 濾波法 VSB 訊號調變範例
2. VSB 解調演演算法
- 2.1 插入載波包絡檢波法
- 2.2 相干解調（同步檢測）
參考資料
附錄程式碼

1. VSB 調變演演算法

1.1 演演算法描述

殘留邊帶調變（VSB, Vestigial Side Band）是介於 SSB 與 DSB 之間的一種折中方式，它既克服了 DSB 訊號佔用頻頻寬的缺點，又解決了 SSB 訊號實現中的困難（無法在工程上實現理想濾波器以及精準相移）。在這種調變方式中，不像 SSB 中那樣完全抑制 DSB 訊號的一個邊帶，而是逐漸切割，使其殘留一小部分。VSB 訊號的頻寬略大於基頻訊號（調變訊號）頻寬 \(f_H\)，但小於 DSB 訊號的頻寬，即 \({f_H}<{B_{VSB}}<2{f_H}\)。

用濾波法產生 VSB 訊號的方法與 SSB 訊號大致相同，都是先產生一個雙邊帶 DSB 訊號，然後讓其通過一個殘留邊帶濾波器（這個濾波器在 \(\pm{\omega_c}\) 處必須具有互補對稱性），即可得到單邊帶 SSB 訊號。

為了保證相干解調時無失真地從殘留邊帶訊號中恢復所需的調變訊號，殘留邊帶濾波器的頻譜必須滿足：

\[H({\omega}+{\omega_c})+H({\omega}-{\omega_c})=常數, {\lvert}{\omega}{\rvert} \leq {\omega_H} \tag{1} \]

式中，\(\omega_H\) 為調變訊號的截止角頻率，這個條件的幾何含義是：殘留邊帶濾波器 \(H(\omega)\) 在 \(\pm{\omega_c}\) 處必須具有互補對稱（奇對稱）特性，即濾波器有過渡帶，其中一個邊帶損失的恰好能夠被另外一個邊帶殘留的部分補償。滿足式 \((1)\) 的殘留邊帶濾波器 \(H(\omega)\) 有以下兩種形式，並且注意，每一種形式的滾降特性曲線並不是唯一的，下圖 \((a)\) 是殘留小部分上邊帶的濾波器特性，下圖 \((b)\) 是殘留小部分下邊帶的濾波器特性。

1.2 濾波法 VSB 訊號調變範例

調變訊號 \(m(t)\) 可以是確知訊號，也可以是隨機訊號。當 \(m(t)\) 是確知訊號時，不妨假設 \(m(t)\) 的時域表示式如下：

\[m(t) = sin(2{\pi}{f_m}t)+cos({\pi}{f_m}t) \tag{2} \]

各調變引數取值：\(f_m=2500Hz\)，\(f_c=20000Hz\)。訊號取樣率 \(f_s=8{f_c}\)，模擬總時長為 \(2s\)。假設殘留濾波器的滾降特性曲線為直線，VSB 殘留下邊帶調變效果如下圖所示（為了美觀，時域只顯示前 500 個點），調變訊號 \(m(t)\) 雙邊幅度譜有四根離散譜線（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），高頻載波 \(c(t)\) 雙邊幅度譜有兩根離散譜線（\({\pm}20000Hz\)），VSB 殘留下邊帶訊號有六根離散譜線（\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)）。

VSB 殘留上邊帶調變效果如下圖所示（為了美觀，時域只顯示前 500 個點），調變訊號 \(m(t)\) 雙邊幅度譜有四根離散譜線（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），高頻載波 \(c(t)\) 雙邊幅度譜有兩根離散譜線（\({\pm}20000Hz\)），VSB 殘留上邊帶訊號有六根離散譜線（\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)）。

程式碼詳見 mod_lvsb.m、mod_uvsb.m、main_modVSB_example.m。

2. VSB 解調演演算法

解調是調變的逆過程，其作用是從接收的已調訊號中恢復原基頻訊號（即調變訊號）。VSB 訊號的包絡不再與調變訊號 \(m(t)\) 的變化規律一致，因而不能採用簡單的包絡檢波來恢復調變訊號，通常採用相干解調的方法來進行解調。另一種方法是，插入很強的載波，使其成為或近似為 AM 訊號，則可利用包絡檢波器恢復調變訊號，這種方法被稱為插入載波包絡檢波法，為了保證檢波質量，插入的載波振幅應遠大於訊號的振幅，同時也要求插入的載波與調變載波同頻同相。下面介紹兩種解調方法並對 1.2 節中的 VSB 訊號進行解調。

2.1 插入載波包絡檢波法

插入幅值為 \(A_0\) 的載波，得到一個近似的 AM 訊號，使用 AM 解調器進行解調即可，步驟如下：

第一步：加上載波 \({A_0}cos{\omega_ct}\)，其中 \(A_0 \geq {\lvert}{s_{VSB}(t)}{\rvert}_{max}\)，獲得 AM 訊號。
第二步：使用 AM 解調器進行解調。

對 1.2 節中的 VSB 殘留下邊帶訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，解調後幅度放大係數 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.12\)，使用這個係數放大解調訊號幅值，然後計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1769\)。

對 1.2 節中的 VSB 殘留上邊帶訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，解調後幅度放大係數 \(k=\overline{{\lvert}m(t){\rvert}}/\overline{{\lvert}\hat{m}(t){\rvert}}\approx2.12\)，使用這個係數放大解調訊號幅值，然後計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-k\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.1768\)，與 VSB 殘留下邊帶訊號相同。

程式碼詳見 demod_vsb_method1.m 和 main_demodVSB_example1.m。AM 解調器詳見本人同系列部落格【調變解調】AM 調幅。更改插入載波的初始相位為 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改插入載波的中心頻率為 \(0.8f_c,1.2f_c\) 後，解調效果變差，說明這種方法對插入載波同頻同相的要求較高。

2.2 相干解調（同步檢測）

將 VSB 訊號與同頻同相的相干載波相乘，然後通過一個低通濾波器即可獲得解調結果，步驟如下：

第一步：乘以相干載波（即乘以 \(4cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 4 被用來做幅度補償。
第二步：低通濾波器濾除高頻載波，濾除 \(2{\omega}_c\)。

對 1.2 節中的 VSB 殘留下邊帶訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0021\)。

對 1.2 節中的 VSB 殘留上邊帶訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0021\)，與 VSB 殘留下邊帶訊號相同。

程式碼詳見 demod_vsb_method2.m 和 main_demodVSB_example2.m。更改相干載波的初始相位為 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改相干載波的中心頻率為 \(0.8f_c,1.2f_c\) 後，解調效果變差，說明這種方法對相干載波同頻同相的要求也較高。

參考資料

[1] 樓才義,徐建良,楊小牛.軟體無線電原理與應用[M].電子工業出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹麗娜.通訊原理.第7版[M].國防工業出版社,2012.

[3] 人人文庫 - 殘留邊帶 VSB 的調變與解調實用教案。

[4] 百度文庫 - 殘留邊帶的調變與解調PPT。

附錄程式碼

附.1 檔案 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER    自定義理想低通濾波器
% 輸入引數：
%       sig_data        待濾波資料
%       cutfre          截止頻率，範圍 (0,1)
% 輸出引數：
%       sig_lpf         低通濾波結果
% @author 木三百川

nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.2 檔案 vsblpf_filter.m

function sig_lpf = vsblpf_filter(sig_data, cutfre, cutband)
% VSBLPF_FILTER    自定義殘留邊帶低通濾波器(滾降特性曲線為直線)
% 輸入引數：
%       sig_data        待濾波資料
%       cutfre          截止頻率，範圍 (0,1)
%       cutband         殘留寬度，範圍 (0,2*cutfre)
% 輸出引數：
%       sig_lpf         低通濾波結果
% @author 木三百川

% 低通濾波器
nfft = length(sig_data);
widx = round(nfft*cutband/4);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
vsblpf = zeros(size(sig_data));
vsblpf(lidx-widx:lidx+widx) = linspace(0,1,2*widx+1);
vsblpf(lidx+widx:ridx-widx) = 1;
vsblpf(ridx-widx:ridx+widx) = linspace(1,0,2*widx+1);

% 濾波
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data)).*vsblpf;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.3 檔案 vsbhpf_filter.m

function sig_hpf = vsbhpf_filter(sig_data, cutfre, cutband)
% VSBHPF_FILTER    自定義殘留邊帶高通濾波器(滾降特性曲線為直線)
% 輸入引數：
%       sig_data        待濾波資料
%       cutfre          截止頻率，範圍 (0,1)
%       cutband         殘留寬度，範圍 (0,2*cutfre)
% 輸出引數：
%       sig_hpf         高通濾波結果
% @author 木三百川

% 高通濾波器
nfft = length(sig_data);
widx = round(nfft*cutband/4);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
vsbhpf = ones(size(sig_data));
vsbhpf(lidx-widx:lidx+widx) = linspace(1,0,2*widx+1);
vsbhpf(lidx+widx:ridx-widx) = 0;
vsbhpf(ridx-widx:ridx+widx) = linspace(0,1,2*widx+1);

% 濾波
sig_fft_hpf = fftshift(fft(sig_data)).*vsbhpf;
sig_hpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_hpf)));

end

附.4 檔案 mod_lvsb.m

function [ sig_lvsb ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_LVSB        VSB 殘留邊帶調幅（濾波法，殘留小部分下邊帶）
% 輸入引數：
%       fc      載波中心頻率
%       fs      訊號取樣率
%       mt      調變訊號
%       t       取樣時間
% 輸出引數：
%       sig_lvsb VSB 殘留下邊帶調幅實訊號
% @author 木三百川

% 生成DSB訊號
ct = cos(2*pi*fc*t);  
sig_dsb = mt.*ct;   % DSB 雙邊帶調幅訊號

% 濾波
sig_lvsb = vsbhpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2), 0.2*fc/(fs/2));

% 繪圖
nfft = length(sig_lvsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_lvsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('調變訊號m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('調變訊號m(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('載波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('載波c(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_lvsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB殘留下邊帶調幅訊號s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_lvsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB殘留下邊帶調幅訊號s(t)雙邊幅度譜');

end

附.5 檔案 mod_uvsb.m

function [ sig_uvsb ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_UVSB        VSB 殘留邊帶調幅（濾波法，殘留小部分上邊帶）
% 輸入引數：
%       fc      載波中心頻率
%       fs      訊號取樣率
%       mt      調變訊號
%       t       取樣時間
% 輸出引數：
%       sig_uvsb VSB 殘留上邊帶調幅實訊號
% @author 木三百川

% 生成DSB訊號
ct = cos(2*pi*fc*t);  
sig_dsb = mt.*ct;   % DSB 雙邊帶調幅訊號

% 濾波
sig_uvsb = vsblpf_filter(sig_dsb, fc/(fs/2), 0.2*fc/(fs/2));

% 繪圖
nfft = length(sig_uvsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_uvsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('調變訊號m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('調變訊號m(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('載波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('載波c(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_uvsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB殘留上邊帶調幅訊號s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_uvsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB殘留上邊帶調幅訊號s(t)雙邊幅度譜');

end

附.6 檔案 main_modVSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% VSB 調變模擬(調變訊號為確知訊號)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% VSB 調變
[ sig_lvsb ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t); % 殘留下邊帶
[ sig_uvsb ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t); % 殘留上邊帶

附.7 檔案 demod_vsb_method1.m

function [ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method1(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_VSB_METHOD1        VSB 插入載波包絡檢波法
% 輸入引數：
%       sig_vsb_receive     VSB 接收訊號，行向量
%       fc                  載波中心頻率
%       fs                  訊號取樣率
%       t                   取樣時間
%       phi0                載波初始相位
% 輸出引數：
%       sig_vsb_demod       解調結果，與 sig_vsb_receive 等長
% @author 木三百川

% 第一步：插入載波
A0 = max(abs(sig_vsb_receive))/0.8;
sig_vsb2am = sig_vsb_receive + A0*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：使用 AM 解調器進行解調
[ sig_vsb_demod ] = demod_am_method4(sig_vsb2am, fs, t);

end

附.8 檔案 demod_vsb_method2.m

function [ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method2(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_VSB_METHOD2        VSB 相干解調（同步檢測）
% 輸入引數：
%       sig_vsb_receive     VSB 接收訊號，行向量
%       fc                  載波中心頻率
%       fs                  訊號取樣率
%       t                   取樣時間
%       phi0                載波初始相位
% 輸出引數：
%       sig_vsb_demod       解調結果，與 sig_vsb_receive 等長
% @author 木三百川

% 第一步：乘以相干載波
sig_vsbct = 4*sig_vsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通濾波
sig_vsb_demod = lpf_filter(sig_vsbct, fc/(fs/2));

end

附.9 檔案 main_demodVSB_example1.m

clc;
clear;
close all;
% VSB 解調模擬(調變訊號為確知訊號，插入載波包絡檢波法)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% VSB 調變
% [ sig_vsb_send ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t);  % 殘留下邊帶
[ sig_vsb_send ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t);  % 殘留上邊帶

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_vsb_receive = awgn(sig_vsb_send, snr, 'measured');

% 插入載波包絡檢波法
phi0 = 0;
[ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method1(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 繪圖
nfft = length(sig_vsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_vsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_vsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_vsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_vsb_demod)/norm(mt));

附.10 檔案 main_demodVSB_example2.m

clc;
clear;
close all;
% VSB 解調模擬(調變訊號為確知訊號，相干解調（同步檢測）)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% VSB 調變
[ sig_vsb_send ] = mod_lvsb(fc, fs, mt, t);  % 殘留下邊帶
% [ sig_vsb_send ] = mod_uvsb(fc, fs, mt, t);  % 殘留上邊帶

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_vsb_receive = awgn(sig_vsb_send, snr, 'measured');

% 相干解調（同步檢測）
phi0 = 0;
[ sig_vsb_demod ] = demod_vsb_method2(sig_vsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 繪圖
nfft = length(sig_vsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_vsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('VSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_vsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('VSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_vsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_vsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_vsb_demod)/norm(mt));