【調變解調】DSB 雙邊帶調幅

說明

學習數位訊號處理演演算法時整理的學習筆記。同系列文章目錄可見《DSP 學習之路》目錄，程式碼已上傳到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介紹 DSB 雙邊帶調幅訊號的調變與解調，內附全套 MATLAB 程式碼。

1. DSB 調變演演算法

1.1 演演算法描述

在 AM 調幅訊號中，載波分量並不攜帶資訊，資訊完全由邊帶傳送。如果在 AM 調變模型中將直流 \(A_0\) 去掉，即可得到一種高調變效率的調變方式——抑制載波雙邊帶訊號（DSB - SC, Double Side Band with Suppressed Carrier），簡稱雙邊帶訊號（DSB），其時域表示式為：

\[s_{DSB}(t)=m(t)cos{\omega_ct} \tag{1} \]

式中：\(m(t)\) 是調變訊號（攜帶要發出去的資訊），它可以是確知訊號，也可以是隨機訊號，其均值通常為 0；\(cos{\omega_ct}\) 是載波，\(\omega_c\) 是載波角頻率，與載波頻率 \(f_c\) 之間的關係為 \(\omega_c=2{\pi}f_c\)。DSB 的頻譜與 AM 頻譜相近，只是沒有了在 \(\pm\omega_c\) 處的 \(\delta\) 函數，對式 \((1)\) 進行傅立葉變換，得到 DSB 訊號的頻譜（幅度譜）表示式：

\[S_{DSB}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right] \tag{2} \]

式中，\(M(\omega)\) 是調變訊號 \(m(t)\) 的頻譜。DSB 訊號的特性如下：

DSB 訊號的頻譜由上邊帶與下邊帶兩部分組成，不存在載波分量，它的頻寬仍是基頻訊號（調變訊號）頻寬 \(f_H\) 的 2 倍，即 \(B_{DSB}=2f_{H}\)，與 AM 訊號頻寬相同。
由於不存在載波分量，有用功率 \(P_s\) 就是訊號總功率 \(P_{DSB}\)，即 \(P_s=P_{DSB}\)，全部功率都用於資訊傳輸，調變效率 \({\eta_{DSB}}=100\%\)。

1.2 DSB 訊號調變範例

調變訊號 \(m(t)\) 可以是確知訊號，也可以是隨機訊號。當 \(m(t)\) 是確知訊號時，不妨假設 \(m(t)\) 的時域表示式如下：

\[m(t) = sin(2{\pi}{f_m}t)+cos({\pi}{f_m}t) \tag{3} \]

各調變引數取值：\(f_m=2500Hz\)，\(f_c=20000Hz\)。訊號取樣率 \(f_s=8{f_c}\)，模擬總時長為 \(2s\)。DSB 調變效果如下圖所示（為了美觀，時域只顯示前 500 個點），調變訊號 \(m(t)\) 雙邊幅度譜有四根離散譜線（\({\pm}2500Hz\)、\({\pm}1250Hz\)），載波 \(c(t)\) 的雙邊幅度譜有兩根離散譜線（\({\pm}20000Hz\)），DSB 訊號有八根離散譜線（\(\pm17500Hz\)、\(\pm18750Hz\)、\(\pm21250Hz\)、\(\pm22500Hz\)），程式碼詳見附錄 main_modDSB_example.m 與 mod_dsb.m。

2. DSB 解調演演算法

解調是調變的逆過程，其作用是從接收的已調訊號中恢復原基頻訊號（即調變訊號）。DSB 訊號的包絡不再與調變訊號 \(m(t)\) 的變化規律一致，因而不能採用簡單的包絡檢波來恢復調變訊號，通常採用相干解調的方法來進行解調。另一種方法是，插入很強的載波，使其成為或近似為 AM 訊號，則可利用包絡檢波器恢復調變訊號，這種方法被稱為插入載波包絡檢波法，為了保證檢波質量，插入的載波振幅應遠大於訊號的振幅，同時也要求插入的載波與調變載波同頻同相。下面介紹三種解調方法並對 1.2 節中的 DSB 訊號進行解調。

2.1 插入載波包絡檢波法

插入幅值為 \(A_0\) 的載波，得到：

\[s_{DSB}(t)+{A_0}cos{\omega_ct}=\left[A_0+m(t)\right]cos{\omega_ct} \tag{4} \]

其中 \(A_0 \geq {\lvert}{m(t)}{\rvert}_{max}\)，這樣就得到了一個 AM 訊號，使用 AM 解調器進行解調即可，步驟如下：

第一步：加上載波 \({A_0}cos{\omega_ct}\)，其中 \(A_0 \geq {\lvert}{m(t)}{\rvert}_{max}\)，獲得 AM 訊號。
第二步：使用 AM 解調器進行解調。

對 1.2 節中的 DSB 訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0022\)。更改插入載波的初始相位為 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\)，或者更改插入載波的中心頻率為 \(0.8f_c,1.2f_c\) 後，解調效果變差，說明這種方法對插入載波同頻同相的要求較高。

程式碼詳見 demod_dsb_method1.m 和 main_demodDSB_example1.m。AM 解調器詳見本人同系列部落格【調變解調】AM 調幅。

2.2 相干解調（同步檢測）

將 DSB 訊號與同頻同相的相干載波相乘，得到：

\[\begin{aligned} s_{DSB}(t){\cdot}cos{(\omega_ct)}&=m(t)cos{(\omega_ct)}{\cdot}cos{(\omega_ct)}\\[1em] &=\frac{1}{2}m(t)+\frac{1}{2}m(t)cos(2\omega_ct) \end{aligned} \tag{5} \]

然後通過一個低通濾波器即可獲得解調結果，步驟如下：

第一步：乘以相干載波（即乘以 \(2cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 2 被用來做幅度補償。
第二步：低通濾波器濾除高頻載波，濾除 \(2{\omega}_c\)。

對 1.2 節中的 DSB 訊號，設定訊雜比 \(SNR=50dB\)，解調效果如下，計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0016\)。更改相干載波的初始相位為 \({\phi_0}=\pi/4,\pi/2\) 後，解調幅值發生失真，當與真實相位相差 \(\pi/2\) 時幅值失真最大；但更改相干載波的中心頻率為 \(0.8f_c,1.2f_c\) 後，解調效果變得很差，波形完全失真，說明這種方法對相干載波同頻同相的要求也較高。

程式碼詳見 lpf_filter.m、demod_dsb_method2.m 和 main_demodDSB_example2.m。

2.3 數位正交解調

DSB 數位正交解調一般有以下兩個步驟，它與相干解調（同步檢測）法是等效的：

第一步：乘以正交相干載波得到 \({s_I}(t)\) 與 \({s_Q}(t)\)，即 \({s_I}(t)=2s(t)cos({\omega_ct}+{\phi_0})\)，\({s_Q}(t)=-2s(t)sin({\omega_ct}+{\phi_0})\)，前面的 2 被用來做幅度補償。
第二步：低通濾波器濾除 \({s_I}(t)\) 與 \({s_Q}(t)\) 中的高頻分量，所得的 \(s_I(t)\) 即為解調結果。

程式碼詳見 lpf_filter.m、demod_dsb_method3.m 和 main_demodDSB_example3.m。

3. DSB 模擬（MATLAB Communications Toolbox）

MATLAB 的 Communications Toolbox 中提供了 AM 調變函數 ammod，高斯白噪聲函數 awgn，以及 AM 解調函數 amdemod，可以很方便地完成 DSB 訊號模擬，設定 ammod 與 amdemod 的輸入引數 carramp = 0 即為 DSB 的調變與解調（carramp 引數的預設值就是 0，不顯式設定這個引數也可以）。使用這三個函數實現上面 1.2 節中確知訊號 \(m(t)\) 的 DSB 調變解調，調變後加噪聲的效果如下：

解調效果如下：

解調訊號與調變訊號波形基本重回，計算誤差，有：\(\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i)-\hat{m}(t_i){\rvert}^2}}/\sqrt{\sum{{\lvert}m(t_i){\rvert}^2}}\approx0.0025\)。程式碼詳見附錄 main_CommDSB_example.m。

參考資料

[1] 樓才義,徐建良,楊小牛.軟體無線電原理與應用[M].電子工業出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹麗娜.通訊原理.第7版[M].國防工業出版社,2012.

[3] CSDN - 通訊原理之模擬幅度調變（線性調變）詳解。

附錄程式碼

附.1 檔案 mod_dsb.m

function [ sig_dsb ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t)
% MOD_DSB        DSB 雙邊帶調幅
% 輸入引數：
%       fc      載波中心頻率
%       fs      訊號取樣率
%       mt      調變訊號
%       t       取樣時間
% 輸出引數：
%       sig_dsb DSB 雙邊帶調幅實訊號
% @author 木三百川

% 生成訊號
ct = cos(2*pi*fc*t);  
sig_dsb = mt.*ct;   % DSB 雙邊帶調幅訊號

% 繪圖
nfft = length(sig_dsb);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('調變訊號m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('調變訊號m(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('載波c(t)');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('載波c(t)雙邊幅度譜');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB雙邊帶調幅訊號s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB雙邊帶調幅訊號s(t)雙邊幅度譜');

end

附.2 檔案 main_modDSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 調變模擬(調變訊號為確知訊號)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 調變
[ sig_dsb ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

附.3 檔案 demod_dsb_method1.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method1(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD1        DSB 插入載波包絡檢波法
% 輸入引數：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收訊號，行向量
%       fc                  載波中心頻率
%       fs                  訊號取樣率
%       t                   取樣時間
%       phi0                載波初始相位
% 輸出引數：
%       sig_dsb_demod       解調結果，與 sig_dsb_receive 等長
% @author 木三百川

% 第一步：插入載波
A0 = max(abs(sig_dsb_receive))/0.8;
sig_dsb2am = sig_dsb_receive + A0*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：使用 AM 解調器進行解調
[ sig_dsb_demod ] = demod_am_method4(sig_dsb2am, fs, t);

end

附.4 檔案 main_demodDSB_example1.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解調模擬(調變訊號為確知訊號，插入載波包絡檢波法)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 調變
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 插入載波包絡檢波法
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method1(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 繪圖
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.5 檔案 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER    自定義理想低通濾波器
% 輸入引數：
%       sig_data        待濾波資料
%       cutfre          截止頻率，範圍 (0,1)
% 輸出引數：
%       sig_lpf         低通濾波結果
% @author 木三百川

nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.6 檔案 demod_dsb_method2.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method2(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD2        DSB 相干解調（同步檢測）
% 輸入引數：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收訊號，行向量
%       fc                  載波中心頻率
%       fs                  訊號取樣率
%       t                   取樣時間
%       phi0                載波初始相位
% 輸出引數：
%       sig_dsb_demod       解調結果，與 sig_dsb_receive 等長
% @author 木三百川

% 第一步：乘以相干載波
sig_dsbct = 2*sig_dsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通濾波
sig_dsb_demod = lpf_filter(sig_dsbct, fc/(fs/2));

end

附.7 檔案 main_demodDSB_example2.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解調模擬(調變訊號為確知訊號，相干解調（同步檢測）)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 調變
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 相干解調（同步檢測）
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method2(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 繪圖
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.8 檔案 demod_dsb_method3.m

function [ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method3(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_DSB_METHOD3        DSB 數位正交解調，與相干解調（同步檢測）是等效的
% 輸入引數：
%       sig_dsb_receive     DSB 接收訊號，行向量
%       fc                  載波中心頻率
%       fs                  訊號取樣率
%       t                   取樣時間
%       phi0                載波初始相位
% 輸出引數：
%       sig_dsb_demod       解調結果，與 sig_dsb_receive 等長
% @author 木三百川

% 第一步：乘以正交相干載波
sig_dsb_i = 2*sig_dsb_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);
sig_dsb_q = -2*sig_dsb_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通濾波
sig_dsb_i_lpf = lpf_filter(sig_dsb_i, fc/(fs/2));
sig_dsb_q_lpf = lpf_filter(sig_dsb_q, fc/(fs/2));
sig_dsb_demod = sig_dsb_i_lpf;

end

附.9 檔案 main_demodDSB_example3.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 解調模擬(調變訊號為確知訊號，數位正交解調)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 調變
[ sig_dsb_send ] = mod_dsb(fc, fs, mt, t);

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% 數位正交解調
phi0 = 0;
[ sig_dsb_demod ] = demod_dsb_method3(sig_dsb_receive, fc, fs, t, phi0);

% 繪圖
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));

附.10 檔案 main_CommDSB_example.m

clc;
clear;
close all;
% DSB 調變解調模擬(使用Communications Toolbox工具箱)
% @author 木三百川

% 調變引數
fm = 2500;              % 調變訊號引數
fc = 20000;             % 載波頻率
fs = 8*fc;              % 取樣率
total_time = 2;         % 模擬時長，單位：秒

% 取樣時間
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 調變訊號為確知訊號
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% DSB 調變
ini_phase = 0;
sig_dsb_send = ammod(mt, fc, fs, ini_phase);

% 加噪聲
snr = 50;               % 訊雜比
sig_dsb_receive = awgn(sig_dsb_send, snr, 'measured');

% DSB 解調
[ sig_dsb_demod ] = amdemod(sig_dsb_receive, fc, fs, ini_phase);

% 繪圖
nfft = length(sig_dsb_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_dsb_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('DSB接收訊號');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dsb_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('頻率/hz');ylabel('幅度/dB');title('DSB接收訊號雙邊幅度譜');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_dsb_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解調效果');
legend('調變訊號','解調訊號');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_dsb_demod));
fprintf('norm(調變訊號 - %.2f * 解調訊號)/norm(調變訊號) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_dsb_demod)/norm(mt));