第九章旋輪曲線（ROULETTE CURVES）

原作：Keith Peters https://www.bit-101.com/blog/2022/11/coding-curves/

譯者：池中物王二狗(sheldon)

原始碼：github: https://github.com/willian12345/coding-curves

曲線藝術程式設計系列第 9 章

一開始我本章標題我打算使用「次擺線與擺線（旋輪線）」。我想它們是兩種不同型別的曲線，雖然有點兒聯絡。但隨著瞭解的深入，我有點兒凌亂了。事實上擺線是一類非常特別的次擺線。我會原諒我自己的。這是維基百科上它們的定義：

在幾何上，次擺線（trochoid 原自古希臘語 trochos ‘wheel’）是一個圓延一條直線捲動一圈形成的旋轉曲線。

在幾何上，擺線追蹤在圓上的一個點，圓延直線捲動後形成的曲線。

它們不僅不是兩個不同的東西，從描述上看它們幾乎是同一個東西。細節決定成敗。讓我們開始探索吧。

有三種不同的次擺線：

普通次擺線（也稱擺線）
Prolate trochoids 長幅擺線
Curtate trochoids 短幅擺線

除此之外，還有一些相關的曲線，大概覆蓋以下幾種：

Epitrochoids 長短輻外擺線
Hypotrochoids 長短輻內擺線
Epicycloids 外擺線
Hypocycloids 內擺線
Involutes 漸伸線

它們組合在一起就是旋輪曲線家族了。在這章除 Involutes 漸伸線外其它都將涉及到。

講了了大堆有的沒的，先從次擺線開始，讓我們一一把它們搞清楚。

Trochoids 次擺線

就像上面描述的，一條次擺線就是一個圓在直線上捲動形成的旋轉曲線。在編碼之前先把它視覺化看看：

如果我們追蹤圓周上的那個黑點...

... 新的曲線就是次擺線。事實上由於是繪製點依賴於圓周，所以也稱為普通擺線或圓滾線。

如果將圓周上的點延伸超過圓周，那麼我們就得到長幅次擺線（Prolate trochoid）。

如果黑點在圓內部，它就是短幅次擺線（Curtate trochoids)。

為了做出這些動畫，我讓圓從左向右運動，計算出每個位置上圓的旋轉角度，用 sine 和 cosine 基於圓的位置與旋轉角度計算出點的位置，然後用這些點畫出線。但對於次擺線其實有更直接的公式

x = a * t - b * sin(t)
y = a - b * cos(t)

t 是圓的旋轉角度，它可以無限增長， a 是圓的半徑， b 是圓心點至繪製點的距離 - 可以說是那個點的半徑。讓我們把它實現出來：

width = 800
height = 300
canvas(width, height)
 
translate(0, height/2)
scale(1, -1)
moveTo(0, 0)
lineTo(width, 0)
stroke()
 
a = 20.0
b = 20.0
res = 0.05
 
for (t = 0.0; t < width; t += res) {
    x = a * t - b * sin(t)
    y = a - b * cos(t)
    lineTo(x, y)
}
stroke()

公式是基於笛卡爾座標的，我們要將 y 軸移至 canvas 中心，並將 y 軸翻轉。

然後畫一條直線從 y 軸中心穿過用於表示圓捲動時的「地面」。你可以畫也可以選擇不畫。

我們將 a 和 b 都設為 20，這樣就可以得到擺線（譯者者：普通旋轉線）了。我們迴圈將從 0 至 canvas 的寬度用於變數 t, 應用公式連線至計算出的結果點。

如果將 b 提高到 60，我們就得到了長幅擺線

如果將 b 減小到 10，我們就得到了短幅擺線。

我不知道長幅擺線和短幅擺線的用詞是否準確，但聽起來挺酷。

這就是全部關於次擺線的內容。試試給 a 和 b 設不同的值，或者你自己改一下其它值，我就不再再多講了。因為下面還留有很多旋輪曲線需要探討。

中心次擺線

接下來我們要聚焦於被稱為中心次擺線的四種曲線。與延直線捲動不同，它是延另一個圓捲動，可能是延那個圓圓內部捲動也可能是延那個圓的外部捲動。

四類分別是：

Epicycloids 外擺線 - 延一個圓外部捲動的圓，圓周上某一點軌跡形成的曲線。
Epitrochoids 長短輻外擺線 - 與上面一個一樣，但這個點是不在圓周上，而是在圓外或圓內，與短幅次擺線與長幅次擺線一樣。
Hypocycloids 內擺線 - 延一個圓內部捲動的圓，圓周上某一點軌跡形成的曲線。
Hypotrochoids 長短輻內擺線 - 與上面那個一樣，但這個點是不在圓周上，而是在圓外或圓內

除此之外，還有一些曲線也是屬於上面曲線的一種變體，只是形成曲線的兩個圓半徑有特殊的比例關係。我們稍後會看介紹一些。

Epitrochoids 長短輻外擺線

首先，讓我們將一個圓延另一個圓外捲動視覺化

再追蹤一下那個黑色的點的繪製結果

這就是你長短輻外擺線！

事實上，由於那個點是在圓周位置上，所以這也就是外擺線！

如果將點往外移動一點...

再我們往內移動一點。

再一次，我建立這些動畫是通過計算這些圓的位置，繪製這些圓，再計算這些圓的旋轉角度並繪製對應的點，然後再連線每一幀所繪製的點路徑形成曲線。為了展示動畫像這麼做是值得的，但是其實是有更簡單的公式，你可以直接應用：

長短輻外擺線公式：

x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)

引數解析：

r0 是定圓的半徑
r1 是動圓的半徑
t 是增長的弧度
d 是動圓中心點與繪製點之間的距離 (如果是外擺線則 r1 與 d 相同)

我們用這個公式瞬間就可以用些程式碼實現：

width = 800
height = 800
canvas(width, height)
 
translate(width/2, height/2)
 
r0 = 180
r1 = 60
d = 60
res = 0.01
 
circle(0, 0, r0)
stroke()
 
for (t = 0.0; t < PI * 2; t += res) {
  x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
  y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)    
  lineTo(x, y)
}
stroke()

我們設定變數 r0, r1, d 然後繪製定圓僅僅是為了參照變數

接著迴圈 t 至 2 * PI, 得到 x， y 點，繪製一條線至那個點。

得到結果：

值得注意的一點， ro 到 r1 的比例。 180:60 或 3:1。我們得到3個結點。如果將 r1 改為 45，比例即變為 4:1 ，我們將得到 4 個結點。（我將 d 變為 45 也是為了適配 r1）

下面是 12:1 :

如果比例的第二個數位不是1，會如何？讓我們將 r0 設定為 150，r1 為 100。現在，ratio 為 3:2。

毫無意外，我們得到了一個半的結點（nodes）。為了完成這個曲線，我們不得不再繞一圈，需要將 t 的範圍值變為 0 到 PI * 4。然後得到結果：

如果你使用整數，迴圈總是會完成的。在下一個例子中，比如是 11:7 ，所以不得不將 t 結束值調整為 PI * 14：

如果是 111:70，意味著我需要 t 結束範圍調整至 140 * PI:

手動算這個有點痛苦，你可以建立個函數簡化比例計算並用分母 * PI * 2 作為迴圈次數。下面有兩個有用的函數

//（譯者注： gcd 即 greatest common divisor 求最大公約數）
function gcd(x, y) {
  result min(x, y)
  while (result > 0) {
    if (x % result == 0 && y % result == 0) {
      break
    }
    result--
  }
  return result
}
 
function simplify(x, y) {
  g = gcd(x, y)
  return x / g, y / g
}

僅需要將 r0 和 r1 傳入 simplify 函數，得到簡化後的比例。將結果的第二個數位 * 2 * PI 做為迴圈的結束條件。下面是例子...

（譯得注：簡化比例式，最後將分母 * 2 * PI）

width = 800
height = 800
canvas(width, height)
 
translate(width/2, height/2)
 
r0 = 111
r1 = 70
d = 70
res = 0.01
num, den = simplify(r0, r1)
 
circle(0, 0, r0)
stroke()
 
for (t = 0.0; t < PI * 2 * den; t += res) {
  x = (r0 + r1) * cos(t) - d * cos(((r0 + r1) * t) / r1)
  y = (r0 + r1) * sin(t) - d * sin(((r0 + r1) * t) / r1)    
  lineTo(x, y)
}
stroke()

用化簡後的分數的分母保證迴圈足夠多閃以形成完整的曲線。

到目前為止，全部是外擺線(圓外旋輪線)。讓我們改變引數 d 來建立一些其它的長短幅外擺線。

讓 d 大於 r1:

d 小於 r1:

在這些例子中我沒有再把內圓畫出來。

你無需讓我再提供更多的例子了。只需要改變數位看看能得到啥結果。

特殊長短幅外擺線

蚶線是長短幅擺線的一種，生成它的兩個圓半徑相等。如果兩個點在圓內，則它是特殊的蚶線被稱為 Cardioid 心形曲線。

下面是一個蚶線，兩個半徑都是 80 ， d 值設為 160。

心形線三個值都設為 80

腎臟線是長短幅外擺線的一類，它的定圓半徑是動圓半徑的2倍，且那個點在動圓的圓周上。這是腎臟線的圖

你也可以讓那個動圓上的點不在動圓圓周上，但卻不再是腎臟線了，但依然是很不錯的曲線。

現在讓我們把視線轉向長短幅內擺線！

長短幅內擺線

正如前面提到的，長短幅內擺線其實就是動圓是延定圓內部捲動的。

我們跟蹤那個曲線上的繪製點，就得到了長短幅內擺線

事實上，由於繪製點在動圓圓周上，它就是內擺線。

當繪製點移動到動圓外部，得到的就是：

當繪製點移到動圓內部...

像之前一樣，這個動畫是用野路子建立的，其實是有簡單公式可以實現。

長短幅內擺線公式：

x = (r0 - r1) * cos(t) + d * cos(((r0 - r1) * t) / r1)
y = (r0 - r1) * sin(t) - d * sin(((r0 - r1) * t) / r1)

引數與長短幅外擺線類似，事實上公式也基本相同，僅有幾項符號不同。

下面是使用方法。

width = 800
height = 800
canvas(width, height)
 
translate(width/2, height/2)
 
r0 = 300
r1 = 50
d = 50
res = 0.01
num, den = simplify(r0, r1)
 
for (t = 0.0; t < PI * 2 * den; t += res) {
  x = (r0 - r1) * cos(t) + d * cos(((r0 - r1) * t) / r1)
  y = (r0 - r1) * sin(t) - d * sin(((r0 - r1) * t) / r1)
}
stroke()

程式碼執行結果：