減法器的設計與實現並用譯碼器顯示16、10進位制

大家新年好，我是呼嚕嚕，在上一篇簡易加法器裡我們瞭解了半加器和全加器的設計與實現，今天我們來看下CPU中減法器是如何實現的。文章比較長，大家可以收藏反覆觀看

計算機為什麼利用反碼來實現減法？

我們來看一個最常見的例子，2-1 =1這是減法，但它等同於 2+ (-1) =1 這其實是加法。從運算邏輯上來說，減法可以通過加法來實現，這是可行的。
從硬體電路層面說，我們很容易讓電子實現彙總的效果，但是將電子群拆分出多個更小的叢集，是不容易的。還有一個好處是利用加法器能實現減法的效果的話，就不需要再為減法器專門設計電路了，降低了電路的複雜度。

由於計算機採用的是二進位制，和我們天生熟悉的十進位制還是有區別的，那麼二進位制能否實現用加法來實現減法效果？

很幸運地是，當初那群計算機那群工程師大拿將二進位制玩的是爐火純青，通過原碼->反碼->二補數，一步步實現了二進位制通過加法來實現減法效果。其中原理大家感興趣地，可以看看筆者之前的一篇文章計算機中數值和字串怎麼用二進位制表示？

二補數真的是一個天生完美的奇妙存在，基於二補數的機制，減法可以轉化為加法，也就意味著計算機可以通過加法器實現減法。

看完筆者的那篇文章，我們知道了二補數產生的手動：正數原碼不變，負數的符號位不變, 其餘各位取反, 最後一位+1

減法器的實現

要實現原碼到二補數的轉換，需要一個取反器，我們先來寫出減法邏輯的真值表：

通過真值表，我們可以很容易發現這其實就是一個互斥或門(相同為0，不同為1)

我們來實現一個8位元的取反器，由於是8位元的，所以輸入選這8位元輸入，還得連一個8位元的分線器，輸出類似。互斥或門得有8個，每個都需和控制是否取反的輸入相連。

我們將之前的全加器和減法器結合起來，需要注意的是二補數需要取反再+1，取反可以將輸入和取反器相連，+1可以將全加器最低位的進位與控制取反的輸入相連即可，極簡單又巧妙

我們來啟動模擬，看下效果：

上圖計算結果，相當於：

1+1 =2
1-1 =0

但是上面有個問題是，1-1=0時，雖然燈泡是0，但是旁邊的溢位標誌顯示溢位了，我們還需改造一下。我們這裡簡單地，就直接讓減法不溢位即可（這種處理方式還是比較粗暴的，但是實現起來比較簡單）
我們來寫出溢位輸入IY，是否取反輸入IF(如果取反，就代表是減法操作)，溢位輸出O的真值表關係

IY	IF	O
0	0	0
1	0	1
0	1	0
0	1	0

我們可以推出公式：O=非IF * IY,所以需要非門和與門

這樣就減法時，就不會溢位了。但其實這個加法器只能做正數的減法(也就是輸入A得大於等於輸入B)，如果最後結果為負數的，還是有bug的。我們後面有機會再優化

7段數碼管16進位制顯示

由於用燈泡表示二進位制，每次得出的結果，還要我們去換算成10進位制，非常不直觀，我們接下來利用數碼管，來將二進位制數"翻譯"成10進位制數。

我們這邊利用的是7段數碼管來實現的，數碼管其實就是多個LED燈，不同的位控制不同的LED。從第0位到第7位，通過控制不同的LED來組合出數位。第7位比較特殊，數碼管顯示的是點

我們用上面的電路，一一將0~F16個數顯示出來，各個開關的情況記錄成下面的表：

數值	開關（2進位制）	HEX(16進位制)
0	0011 1111	0x3F
1	0011 0000	0x06
2	0101 1011	0x5B
3	0100 1111	0x4F
4	0110 0110	0x66
5	0110 1101	0x6D
6	0111 1101	0x7D
7	0000 0111	0x07
8	0111 1111	0x7F
9	0110 1111	0x6F
A	0111 0111	0x77
b	0111 1100	0x7C
C	0011 1001	0x39
D	0101 1100	0x5E
E	0111 1001	0x79
F	0111 0001	0x71

這其實就是7段數碼管的共陰極對照表，還有共陽極對照表這裡我們就不展示了。

如果直接用組合電路來封裝8位元輸入，7段數碼管的16進位制顯示，的確是可以的，但如果是16位元，32位元，64位元輸入，電路會異常的複雜，我們這邊用儲存器ROM來實現這個功能

ROM唯讀記憶體，是以非破壞性讀出方式工作，它非易失性記憶體，當電源被移除時，其資料內容不會被擦除，它還有個特點就是只能讀出而不能寫入資訊，其所存的資料，一般是裝入整機前事先寫好的，整機工作過程中只能讀出。

需要注意的是: 雖然ROM和硬碟有一些共性，但不能簡單地說ROM就是硬碟

常常與ROM相比的還有一個RAM(隨機存取記憶體),也就是我們常說的主記憶體，是與CPU直接交換資料的內部記憶體，它的特點：隨機存取、資料易失、對靜電敏感、存取速度快、需要重新整理。RAM在斷電以後儲存在上面的資料會自動消失

我們使用ROM和7段數碼管來顯示16進位制的數0~F，選用地址位寬為4，資料位寬為8,只需把對應的資料提前寫入對應的地址中即可。

這裡需要注意一下，為什麼我們選用地址位寬為4，資料位寬為8的ROM？

首先我們需要明白(1111 1111)2 = (f f)16, 7段數碼管可以表示0~F 16進位制數，我們可以用2個7段數碼管並聯將8位元二進位制數譯碼成16進位制數。
我們就先考慮1個7段數碼管和ROM的關係，單個"f"也就是第16個數，也就是說4位元二進位制，即4位元輸入，最大值為16

地址位寬為4, 可以保證定址2^4=16,分別對應十六進位制下的0~F
資料位寬為8，相當於2個7段數碼管，一個7段數碼管需要4位元輸入，2個就是8位元輸入

我們想顯示16進位制數，0~F，我們需要4位元二進位制輸入，其最大值1111，就是16(F)，結合上面的共陰極對照表，我們就能總結下面的表：

A3	A2	A1	A0	Number	HEX(16進位制)
0	0	0	0	0	0x3F
0	0	0	1	1	0x06
0	0	1	0	2	0x5B
0	0	1	1	3	0x4F
0	1	0	0	4	0x66
0	1	0	1	5	0x6D
0	1	1	0	6	0x7D
0	1	1	1	7	0x07
1	0	0	0	8	0x7F
1	0	0	1	9	0x6F
1	0	1	0	A	0x77
1	0	1	1	b	0x7C
1	1	0	0	C	0x39
1	1	0	1	d	0x5E
1	1	1	0	E	0x79
1	1	1	1	F	0x71

根據對應關係，我們把電路和記憶體相應地址資料預先填進去

我們啟動模擬看下效果：

測試完成後，將4個開關換成4位元輸入。接著我們將2個4位元16進位制譯碼器並聯，就成了8位元16進位制譯碼器，並封裝一下：

並將它與上文的全加器與減法器結合起來：

nice!

7段數碼管10進位制顯示

通過上一小節，我們成功把8位元二進位制數，"翻譯"成16進位制數，但距離我們更熟悉的十進位制還是有點距離的，我們本小節繼續改進7段數碼管，實現10進位制的譯碼

由於(1111 1111)2 = (255)10, 最大值為255

ROM需要8位元地址位寬，2^8 = 256，確保能夠將256個數（0 ~255）全部找到；255是3位數，我們至少需要3個數碼管(也就是我們上一小節封裝的4位元16進位制譯碼管)，1個數碼管需要4位元輸入，所以ROM數碼管的資料位寬為12

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電路實現：我們可以使用8個開關，來表示8位元輸入；選用8位元地址位寬且資料位寬為12的ROM,通過8位元3針腳的分線器和3個4位元16進位制譯碼管相連即可。

由於ROM的查詢表有255個數，不能像之前一樣一個個手動填寫，我們可以利用Python來實現(電腦中需要有Python3的環境)。

將其另存到桌面上為test.bin檔案，用vscode開啟該檔案（需要安裝 hex editor外掛來顯示二進位制），以小端顯示：

test.py：

with open('test.bin', 'wb') as f:
    for i in range(256):
        var = str(i)
        var = int(var, base=16) //先轉成16進位制
        byte = var.to_bytes(2, byteorder='little')// 再轉化成二進位制，以顯示小端
        print(byte)
        f.write(byte)

將其放到test.bin 同級目錄後，直接執行命令python test,py後，test.bin就變成了：