摘要：回溯的處理思想，有點類似列舉搜尋。
本文分享自華為雲社群《深入淺出回溯演演算法》，作者：嵌入式視覺。
深度優先搜尋演演算法利用的就是回溯演演算法思想，但它除了用來指導像深度優先搜尋這種經典的演演算法設計之外，還可以用在很多實際的軟體開發場景中，比如正規表示式匹配、編譯原理中的語法分析等。
除此之外，很多經典的數學問題都可以用回溯演演算法解決，比如數獨、八皇后、0-1 揹包、圖的著色、旅行商問題、全排列等等。
回溯的處理思想，有點類似列舉搜尋。暴力列舉所有的解，找到滿足期望的解。為了有規律地列舉所有可能的解，避免遺漏和重複，我們把問題求解的過程分為多個階段。每個階段，我們都會面對一個岔路口，我們先隨意選一條路走，當發現這條路走不通的時候（不符合期望的解），就回退到上一個岔路口，另選一種走法繼續走。
回溯演演算法的模板程式碼總結如下：
void backtracking(引數) { if (終止條件) { 存放結果; return; } for (選擇：本層集合中元素（樹中節點孩子的數量就是集合的大小）) { 處理節點; backtracking(路徑，選擇列表); // 遞迴 回溯，復原處理結果 } }
有一個 8x8 的棋盤，希望往裡放 8 個棋子（皇后），每個棋子所在的行、列、對角線都不能有另一個棋子。這裡的「對角線」指的是所有的對角線，不只是平分整個棋盤的那兩條對角線。
解決思路：可以把這個問題劃分成 8 個階段，依次將 8 個棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行，每一行都有 8 中放法（8 列）。在放置的過程中，我們不停地檢查當前放法，是否滿足要求。如果滿足，則跳到下一行繼續放置棋子；如果不滿足，那就再換一種放法，繼續嘗試。這裡用的是回溯思想，而回溯演演算法也非常適合用遞迴程式碼實現。
// N 皇后問題 leetcode 51 https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/ class Solution { private: vector<vector<string>> result; void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){ if(row == n) { result.push_back(chessboard); return; } for(int column=0; column < n; column++){ // 每一行都有8中放法 if (isOK(row, column, n, chessboard)){ chessboard[row][column] = 'Q'; // 放置皇后 backtracking(n, row+1, chessboard); chessboard[row][column] = '.'; // 回溯，復原處理結果 } } } // 判斷 row 行 column 列放置皇后是否合適 bool isOK(int row, int column, int n, vector<string>& chessboard){ int leftup = column - 1; int rightup = column + 1; // 左上角和右上角 for(int i = row-1; i>=0; i--){ // 逐行網上考察每一行 // 判斷第 i 行的 column 列是否有棋子 if(chessboard[i][column] == 'Q') { return false; } // 考察左上對角線：判斷第i行leftup列是否有棋子 if(leftup >=0 ){ if(chessboard[i][leftup] == 'Q') return false; } // 考察左上對角線：判斷第i行rightup列是否有棋子 if(rightup < n){ if(chessboard[i][rightup] == 'Q') return false; } --leftup; ++rightup; } return true; } public: vector<vector<string>> solveNQueens(int n) { result.clear(); std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.')); backtracking(n, 0, chessboard); return result; } };
0-1 揹包是非常經典的演演算法問題。0-1 揹包問題有很多變體，這裡介紹一種比較基礎的。我們有一個揹包，揹包總的承載重量是 W kg。現在我們有 n 個物品，每個物品的重量不等，並且不可分割，即對於每個物品來說，都有兩種選擇，裝進揹包或者不裝進揹包，對於 n 個物品來說，總的裝法就有 2^n 種。
我們現在期望選擇幾件物品，裝載到揹包中。在不超過揹包所能裝載重量 W 的前提下，如何讓揹包中物品的總重量最大？
0-1 揹包問題為什麼不能用貪婪演演算法求解？
因為不可分割，所以無法判斷當前情況下，哪種物品對期望值貢獻更大，即不存在當前最優的選擇，所以就無法使用貪婪演演算法了。
0-1 揹包問題的高效解法是動態規劃演演算法，但也可用沒那麼高效的回溯方法求解。我們可以把物品依次排列，整個問題就分解為了 n 個階段，每個階段對應一個物品怎麼選擇。先對第一個物品進行處理，選擇裝進去或者不裝進去，然後再遞迴地處理剩下的物品。
int maxW = 0; // cw 表示當前裝進揹包的物品的重量和，w 表示揹包承載的重量 // items 表示物體的重量陣列，n 表示總的物品個數， i 表示考察到第 i 個物品 int f(int i, int cw, vector<int> items, int n, int w){ // 遞迴結束條件：cw == w 表示揹包已經裝滿，i==n 表示考察完所有物品 if(cw == w || i == n){ if(cw > maxW) maxW = cw; return; } f(i+1, cw, items, n, w); // 不裝 // 剪枝過程，當裝入的物品重量大於揹包的重量，就不繼續執行 if(cw+items[i] <= w){ f(i+1, cw+items[i], items, n, w); // 裝 } }
要理解 0-1 揹包問題回溯解法的關鍵在於：對於一個物品而言，只有兩種情況，不裝入揹包和裝入揹包兩種情況。對應的就是 f(i+1, cw, items, n, w) 和 f(i+1, cw + items[i], items, n, w) 兩個函數。
假設正規表示式中只包含 「*」 和 「?」 這兩種萬用字元，並且對這兩個萬用字元的語意稍微做些改變，其中，「*」 匹配任意多個（大於等於 0 個）任意字元，「?」 匹配零個或者一個任意字元。基於以上背景假設，如何用回溯演演算法，判斷一個給定的文字，是否和給定的正規表示式匹配？
如果遇到特殊字元的時候，我們就有多種處理方式了，也就是所謂的岔路口，比如 「*」 有多種匹配方案，可以匹配任意個文字串中的字元，我們就先隨意的選擇一種匹配方案，然後繼續考察剩下的字元。如果中途發現無法繼續匹配下去了，我們就回到這個岔路口，重新選擇一種匹配方案，然後再繼續匹配剩下的字元。
// 暴力遞迴 --> 記憶化 --> DP --> 狀態壓縮DP； class Solution{ private: bool matched = false; void backtracking(int ti, int pj, string text, string pattern){ if (matched) return; if(pj == pattern.size()){ // 正規表示式到末尾了 if(ti == text.size()) matched = true; return; } // *匹配任意個字元 if(pattern[pj] == '*'){ for(int k=0; k< text.size()-ti;k++) backtracking(ti+k, pj+1, text, pattern); } // ?匹配0個或者1個字元 else if(pattern[pj] == '?'){ backtracking(ti, pj+1, text, pattern); backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern); } // 純字元匹配才行 else if(ti < pattern.size() && pattern[pj] == text[ti]) { backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern); } } public: bool isMatch(string text, string pattern){ matched = false; backtracking(0, 0, text, pattern); return matched; } };
在 leetcode 也有變形題（leetcode10:正規表示式匹配）如下：
其他變形題：leetcode44-萬用字元匹配
給你一個字串 s 和一個字元規律 p，請你來實現一個支援 '.' 和 '*' 的正規表示式匹配。
所謂匹配，是要涵蓋整個字串 s 的，而不是部分字串。
方法一：回溯（分階段分情況討論，暴力搜尋和剪枝）
首先，考慮特俗字元只有 '.' 的情況。這種情況會很簡單：我們只需要從左到右依次判斷 s[i] 和 p[i] 是否匹配。
def isMatch(self,s:str, p:str) -> bool: """字串 s 和字元規律 p""" if not p: return not s # 邊界條件 first_match = s and p[0] in {s[0],'.'} # 比較第一個字元是否匹配 return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])
最後，考慮有 ’*' 的情況，它會出現在 p[1] 的位置，匹配過程中會出現兩種情況：
Python3 程式碼如下：
class Solution: def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool: if not p: return not s first_match = bool(s and p[0] in {s[0],'.'}) # 比較第一個字元是否匹配 if len(p) >=2 and p[1] == '*': # * 匹配前面一個字元 0 次或者多次 return self.isMatch(s, p[2:]) or first_match and self.isMatch(s[1:], p) else: return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])
C++ 程式碼如下：
// letcode10 正規表示式匹配 #include <vector> #include <string> using namespace std; class Solution{ public: bool isMatch(string s, string p){ // 如果正則串 p 為空字串，s 也為空，則匹配成功 if(p.empty()) return (s.empty()); // 判斷 s 和 p 的首字元是否匹配，注意要先判斷 s 不為空 bool match = (!s.empty()) && (s[0] == p[0] || p[0] == '.'); // 如果p的第一個元素的下一個元素是 *，則分別對兩種情況進行判斷 if(p.size() >= 2 && p[1] == '*'){ // * 匹配前面一個字元 0 次或者多次 return isMatch(s, p.substr(2)) || (match && isMatch(s.substr(1), p)); } else{ // 單個匹配 return match && isMatch(s.substr(1), p.substr(1)); } } };
直接遞迴時間複雜度太大（指數級），可以把之前的遞迴過程記錄下來，用空間換時間。記憶化遞迴的 C++ 程式碼如下：
class Solution{ public: bool isMatch(string s, string p){ unordered_map<int, bool> memo; return backtracking(s, 0, p, 0, memo); } bool backtracking(string s, int i, string p, int j, unordered_map<int, bool> & memo){ // # 檢查 s[i] 是否能被匹配，注意要先判斷 s 不為空 bool match = (i < s.size()) && (s[i] == p[j] || p[j] == '.'); if(j >= p.size()) return i >= s.size(); // p 和 s 同時遍歷完 int key = i * (p.size() + 1) + j; // 雜湊鍵 if (memo.find(key) != memo.end()) // 這個狀態之前經歷過，可以返回結果 return memo[key]; else if (i == s.size() && j == p.size()) // 如果s和p同時用完，匹配成功 return memo[key] = true; else if((p.size()-j) >= 2 && p[j+1] == '*'){ // * 匹配前面一個字元 0 次或者多次 if(backtracking(s, i, p, j+2, memo) || match && backtracking(s, i+1, p, j, memo)) return memo[key] = true; } else { // 單個匹配 if(match && backtracking(s, i+1, p, j+1, memo)) return memo[key] = true; } return memo[key] = false; // 沒轍了，匹配失敗 } };
方法二：動態規劃法
回溯演演算法的思想非常簡單，大部分情況下，都是用來解決廣義的搜尋問題，也就是，從一組可能的解中，選擇出一個滿足要求的解。回溯演演算法非常適合用遞回來實現，在實現的過程中，剪枝操作是提高回溯效率的一種技巧。利用剪枝，我們並不需要窮舉搜尋所有的情況，從而提高搜尋效率。
儘管回溯演演算法的原理非常簡單，但是卻可以解決很多問題，比如我們開頭提到的深度優先搜尋、八皇后、0-1 揹包問題、圖的著色、旅行商問題、數獨、全排列、正規表示式匹配等等。
回溯演演算法能解決的問題，基本用動態規劃也能解決，其時間複雜度更低，空間複雜度更高，用空間換時間。