儲存論——經濟訂貨批次的R實現
儲存論又稱庫存理論，是運籌學中發展較早的分支。早在 1915 年，哈李斯（F.Harris）針對銀行貨幣的儲備問題進行了詳細的研究，建立了一個確定性的存貯費用模型，並求得了最佳批次公式。1934 年威爾遜（R.H.Wilson）重新得出了這個公式，後來人們稱這個公式為經濟訂購批次公式（簡稱為 EOQ 公式）。這是屬於存貯論的早期工作。存貯論真正作為一門理論發展起來還是在二十世紀 50 年代的事。1958 年威汀 (T.M.Whitin)發表了《存貯管理的理論》一書，隨後阿羅(K.J.Arrow) 等發表了《存貯和生產的數學理論研究》，毛恩（P.A.Moran）在 1959 年寫了《存貯理論》。此後，存貯論成了運籌學中的一個獨立的分支，有關學者相繼對隨機或非平穩需求的存貯模型進行了廣泛深入的研究。
一、儲存論概述
現代經濟活動的生產和經營活動都離不開儲存，為了使生產和經營活動有條不紊地進行，都需要一定數量的儲備物資來支援。所謂存貯實質上是將供應與需求兩個環節以儲存中心聯結起來，起到協調與緩和供需之間矛盾的作用。儲存模型的基本形式如下圖所示：
1.1 庫存管理的基本要素
（1）需求率：單位時間內對某種物品的需求量，用 D 表示。
（2）訂貨批次：一次訂貨中，包含某種貨物的數量，用Q 表示。
（3）訂貨間隔期：兩次訂貨之間的時間間隔，用 T 表示。
1.2 庫存管理的基本費用
（1）購置費：購置物品時花費的費用，即因購置物品而支出的貨款，等於物品的單價乘以需求量。由於供應商一般會給一次訂購某一數量的商品折扣價格，因此購置費可能會隨著每次訂購商品批次不同而改變。
（2）儲存費\(C_1\)。指為儲存物品而支付的費用，如利息、折舊、損耗、財產稅、保險等。現代管理把庫存佔用資金的機會成本（即這些資金若投資於他處所能獲得的收益）也計入保管費中，而機會成本佔保管費的比例在40%以上。保管費用可佔到庫存價值的20%～35%。保管費用往往用佔庫存價值的百分比來估算。
（3）訂貨費\(C_3\)。指為補充而需要訂購物品時支付的費用。其構成有兩類，一是與訂貨次數有關的費用，如準備訂單、洽商等。二是與訂貨次數無關的費用，如運費，辦公管理等費用。
(4）缺貨費\(C_2\)。由於儲存不能滿足需求而造成的損失。為補充訂貨往往比正常訂貨要增加額外的開支，為補足短缺造成加班加點的額外支出，未按期交貨引起客戶索賠、撤消合同甚至喪失市場等經濟損失。
1.3 庫存管理策略
所謂一個管理策略，是指決定什麼情況下對存貯進行補充，以及補充數量的多少。 下面是一些比較常見的庫存管理策略。
（1）t 迴圈策略：不論實際的存貯狀態如何，總是每隔一個固定的時間t ，補充 一個固定的儲存量Q 。
（2）(t,S) 策略：每隔一個固定的時間 t 補充一次，補充數量以補足一個固定的最大儲存量 S 為準。因此，每次補充的數量是不固定的，要視實際儲存量而定。當儲存（餘額）為 I 時，補充數量為Q = S − I 。
（3）(s,S) 策略：當儲存（餘額）為 I ，若 I > s ，則不對儲存進行補充；若 I ≤ s ， 則對儲存進行補充，補充數量Q = S − I 。補充後達到最大儲存量 S。s 稱為訂貨點（或 保險存貯量、安全存貯量、警戒點等）。
在很多情況下，實際儲存量需要通過盤點才能 得知。若每隔一個固定的時間t 盤點一次，得知當時儲存 I ，然後根據 I 是否超過訂貨點 s，決定是否訂貨、訂貨多少，這樣的策略稱為(t,s,S)策略。
二、確定性儲存模型
儲存論的數學模型一般分成兩類：一類是確定性模型，它不包含任何隨機因素，另一類是帶有隨機因素的隨機存貯模型，這裡主要總結確定性儲存模型。
2.1 經典的EOQ訂貨模型
| 模型1 | 模型2 | 模型3 | 模型4 | |
|---|---|---|---|---|
| 模型假設 | 需求是連續的、均勻的，需求速度是常數 R（單位時間的需求量）；補充可以瞬間實現，補充時間 t 近似為 0；單位 C1 儲存費不變；每次訂貨量 Q 不變，訂購費 C3 不變，貨物單價 K 不變；單位缺貨成本 C2 為無窮大 | 在模型1假設基礎上，補貨需要一定時間，不考慮拖延時間，只考慮生產（裝配）時間，生產速度是連續均勻的週期的，生產速度為常數 P(P>R)；單位儲存費為 C1，單位缺貨費 C2，單位訂購費為 C3 | 與模型二相比，不容許缺貨！！！，補貨時間較長 | 與模型二相比，補貨時間極短，容許缺貨 |
| 模型狀態圖 |  |
 |
 |
 |
| 單位時間的總平均費用 | \(C(t)=\frac{C_3}{t}+KR+\frac{1}{2}C_1Rt\) | \(C(t)=\frac{1}{t}[\frac{1}{2}C_1(P-R)\frac{Rt^2}{P}+C_3]\) | \(C(t, S)=\frac{1}{t}[\frac{C_1S^2}{2R}+\frac{C_2(Rt-S)^2}{2R}+C_3]\) | \(C(t, t_2)=\frac{1}{2}\frac{(P-R)R}{P}[C_1 t-2 C_1 t_2+(C_1+C_2) \frac{t_2^2}{t}]+\frac{C_3}{t}\) |
| 最佳定貨週期 | \(t^*=\sqrt{\frac{2 C_3}{C_1 R}}\) | \(t^*=\sqrt{\frac{2 C_3}{C_1 R}}\cdot \sqrt{\frac{P}{P-R}}\) | \(t^*=\sqrt{\frac{2 C_3}{C_1 R}}\cdot \sqrt{\frac{C_2}{C_1+C_2}}\) | \(t^*=\sqrt{\frac{2 C_3}{C_1 R}} \cdot \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_2}} \cdot \sqrt{\frac{P}{P-R}}\) |
| 最大缺貨量 | 0 | 0 | $$B^* = \sqrt{\frac{2 C_1 C_3 R}{C_2(C_1+C_2)}} $$ | \(B^*=\sqrt{\frac{2 C_1 C_3 R}{\left(C_1+C_2\right) C_2}} \cdot \sqrt{\frac{P-R}{P}}\) |
| 最佳定貨量 | \(Q^*=R t^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}}\) | \(Q^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}}\cdot \sqrt{\frac{P-R}{P}}\) | \(Q^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}} \cdot \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_2}}\) | \(Q^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}} \cdot \sqrt{\frac{C_1+C_2}{C_2}} \cdot \sqrt{\frac{P}{P-R}}\) |
| 最大儲存量 | \(Q^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}}\) | $ S^* = \sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}} \cdot \sqrt{\frac{P-R}{P}} $ | \(S^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}} \cdot \sqrt{\frac{C_2}{C_1+C_2}}\) | \(S^*=\sqrt{\frac{2 C_3 R}{C_1}} \cdot \sqrt{\frac{C_2}{C_1+C_2}} \cdot \sqrt{\frac{P-R}{P}}\) |
| 最小費用 | $C^*=\sqrt{2 C_1 C_3 R} $ | $C^*=\sqrt{2 C_1 C_3 R}\cdot \sqrt{\frac{P}{P-R}} $ | $C^*=\sqrt{2 C_1 C_3 R}\cdot \sqrt{\frac{C_2}{C_1+C_2}} $ | \(C^*=\sqrt{2 C_1 C_3 R} \cdot \sqrt{\frac{C_2}{C_1+C_2}} \cdot \sqrt{\frac{P-R}{P}}\) |
2.2 經濟訂購批次的折扣模型
經濟訂購批次折扣模型是經濟訂購批次存貯模型的一種發展，即商品的價格 是不固定的，是隨著訂貨量的多少而改變的。就一半情況而論，物品訂購的越多，物品的單價也就越低，因此折扣模型就是討論這種情況下物品的訂購數量。 一年花費的總費用由三個方面組成：年平均存貯費、年平均訂貨費和商品的購買費用，即
比如說訂購量為 \(Q\), 其單價 \(K(Q)\) :
對應的平均單位貨物所需費用為:
對 \(C^1(Q)\) 求得極值點為 \(Q_0\), 若 \(Q_{j-1} \leq Q_0<Q_j\), 求
設從此式得到的最小值為 \(C^l\left(Q_{l-1}\right)\), 則取 \(Q^*=Q_{l-1}\) 。
三、儲存策略的R計算
經濟訂貨批次 economic order quantity (EOQ)，通過平衡採購進貨成本和保管倉儲成本核算，以實現總庫存成本最低的最佳訂貨量。經濟訂貨批次是固定訂貨批次模型的一種，可以用來確定企業一次訂貨（外購或自制）的數量。當企業按照經濟訂貨批次來訂貨時，可實現訂貨成本和儲存成本之和最小化。
經濟訂貨批次 economic order quantity (EOQ)，通過平衡採購進貨成本和保管倉儲成本核算，以實現總庫存成本最低的最佳訂貨量。經濟訂貨批次是固定訂貨批次模型的一種，可以用來確定企業一次訂貨（外購或自制）的數量。當企業按照經濟訂貨批次來訂貨時，可實現訂貨成本和儲存成本之和最小化。
總結
儲存系統可以用「供-存-銷」三個活動來描述，通過訂貨以及貨後的儲存與銷售來滿足顧客的需求，或者說由於生產或銷售的需求，從儲存系統中取出一定量的庫存貨物，這就是儲存系統的輸出。儲存的貨物由於不斷的輸出而減少，必須及時的補充，補充就是儲存系統的輸入，補充可以通過外部訂貨，採購等活動來進行，也可以通過內部的生產活動來進行，在這個系統中，決策者可以通過控制訂貨時間的間隔和訂貨量的多少來調節系統的執行，使得在某種準則下系統執行達到最優因此，儲存論中研究的主要問題可以概括為，何時訂貨(補充存貯)，每次訂多少貨（補充多少庫存）這兩個問題。