簡述幾種常用的排序演演算法

摘要：歸併排序和快速排序是兩種稍微複雜的排序演演算法，它們用的都是分治的思想，程式碼都通過遞回來實現，過程非常相似。理解歸併排序的重點是理解遞推公式和 merge() 合併函數。

本文分享自華為雲社群《深入淺出八種排序演演算法》，作者：嵌入式視覺。

歸併排序和快速排序是兩種稍微複雜的排序演演算法，它們用的都是分治的思想，程式碼都通過遞回來實現，過程非常相似。理解歸併排序的重點是理解遞推公式和 merge() 合併函數。

一，氣泡排序（Bubble Sort）

排序演演算法是程式設計師必須瞭解和熟悉的一類演演算法，排序演演算法有很多種，基礎的如：冒泡、插入、選擇、快速、歸併、計數、基數和桶排序等。

氣泡排序只會操作相鄰的兩個資料。每次冒泡操作都會對相鄰的兩個元素進行比較，看是否滿足大小關係要求，如果不滿足就讓它倆互換。一次冒泡會讓至少一個元素移動到它應該在的位置，重複 n 次，就完成了 n 個資料的排序工作。

總結：如果陣列有 n 個元素，最壞情況下，需要進行 n 次冒泡操作。

基礎的氣泡排序演演算法的 C++ 程式碼如下：

// 將資料從小到大排序
void bubbleSort(int array[], int n){
 if (n<=1) return;
 for(int i=0; i<n; i++){
 for(int j=0; j<n-i; j++){
 if (temp > a[j+1]){
                temp = array[j]
                a[j] = a[j+1];
                a[j+1] = temp;
 }
 }
 }
}

實際上，以上的氣泡排序演演算法還可以優化，當某次冒泡操作已經不再進行資料交換時，說明陣列已經達到有序，就不需要再繼續執行後續的冒泡操作了。優化後的程式碼如下：

// 將資料從小到大排序
void bubbleSort(int array[], int n){
 if (n<=1) return;
 for(int i=0; i<n; i++){
 // 提前退出冒泡迴圈發標志位
        bool flag = False;
 for(int j=0; j<n-i; j++){
 if (temp > a[j+1]){
                temp = array[j]
                a[j] = a[j+1];
                a[j+1] = temp;
                flag = True; // 表示本次冒泡操作存在資料交換
 }
 }
 if(!flag) break; // 沒有資料交換，提交退出
 }
}

氣泡排序的特點：

冒泡過程只涉及相鄰元素的交換，只需要常數級的臨時空間，故空間複雜度為 O(1)O(1)，是原地排序演演算法。
當有相鄰的兩個元素大小相等的時候，我們不做交換，相同大小的資料在排序前後不會改變順序，所以是穩定排序演演算法。
最壞情況和平均時間複雜度都為 O(n2)O(n2)，最好時間複雜度是 O(n)O(n)。

二，插入排序（Insertion Sort）

插入排序演演算法將陣列中的資料分為兩個區間：已排序區間和未排序區間。最初始的已排序區間只有一個元素，就是陣列的第一個元素。
插入排序演演算法的核心思想就是取未排序區間的一個元素，在已排序區間中找到一個合適的位置插入，並保證已排序區間資料一直有序。
重複這個過程，直到未排序區間元素為空，則演演算法結束。

插入排序和氣泡排序一樣，也包含兩種操作，一種是元素的比較，一種是元素的移動。

當我們需要將一個資料 a 插入到已排序區間時，需要拿 a 與已排序區間的元素依次比較大小，找到合適的插入位置。找到插入點之後，我們還需要將插入點之後的元素順序往後移動一位，這樣才能騰出位置給元素 a 插入。

插入排序的 C++ 程式碼實現如下：

void InsertSort(int a[], int n){
 if (n <= 1) return;
 for (int i = 1; i < n; i++) // 未排序區間範圍
 {
        key  = a[i]; // 待排序第一個元素
        int j = i - 1; // 已排序區間末尾元素
 // 從尾到頭查詢插入點方法
 while(key < a[j] && j >= 0){ // 元素比較
            a[j+1] = a[j]; // 資料向後移動一位
            j--;
 }
        a[j+1] = key; // 插入資料
 }
}

插入排序的特點：

插入排序並不需要額外儲存空間，空間複雜度是 O(1)O(1)，所以插入排序也是一個原地排序演演算法。
在插入排序中，對於值相同的元素，我們可以選擇將後面出現的元素，插入到前面出現元素的後面，這樣就可以保持原有的前後順序不變，所以插入排序是穩定的排序演演算法。
最壞情況和平均時間複雜度都為 O(n2)O(n2)，最好時間複雜度是 O(n)O(n)。

三，選擇排序（Selection Sort）

選擇排序演演算法的實現思路有點類似插入排序，也分已排序區間和未排序區間。但是選擇排序每次會從未排序區間中找到最小的元素，將其放到已排序區間的末尾。

選擇排序的最好情況時間複雜度、最壞情況和平均情況時間複雜度都為 O(n2)O(n2)，是原地排序演演算法，且是不穩定的排序演演算法。

選擇排序的 C++ 程式碼實現如下：

void SelectSort(int a[], int n){
 for(int i=0; i<n; i++){
        int minIndex = i;
 for(int j = i;j<n;j++){
 if (a[j] < a[minIndex]) minIndex = j;
 }
 if (minIndex != i){
            temp = a[i]; 
            a[i] = a[minIndex];
            a[minIndex] = temp;
 }
 }
}

冒泡插入選擇排序總結

這三種排序演演算法，實現程式碼都非常簡單，對於小規模資料的排序，用起來非常高效。但是在大規模資料排序的時候，這個時間複雜度還是稍微有點高，所以更傾向於用時間複雜度為 O(nlogn)O(nlogn) 的排序演演算法。

特定演演算法是依賴特定的資料結構的。以上三種排序演演算法，都是基於陣列實現的。

四，歸併排序（Merge Sort）

歸併排序的核心思想比較簡單。如果要排序一個陣列，我們先把陣列從中間分成前後兩部分，然後對前後兩部分分別排序，再將排好序的兩部分合並在一起，這樣整個陣列就都有序了。

歸併排序使用的是分治思想。分治，顧名思義，就是分而治之，將一個大問題分解成小的子問題來解決。小的子問題解決了，大問題也就解決了。

分治思想和遞迴思想有些類似，分治演演算法一般用遞迴實現。分治是一種解決問題的處理思想，遞迴是一種程式設計技巧，這兩者並不衝突。

知道了歸併排序用的是分治思想，而分治思想一般用遞迴實現，接下來的重點就是如何用遞迴實現歸併排序。寫遞迴程式碼的技巧就是，分析問題得出遞推公式，然後找到終止條件，最後將遞推公式翻譯成遞迴程式碼。所以，要想寫出歸併排序的程式碼，得先寫出歸併排序的遞推公式。

遞推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))
終止條件：
p >= r 不用再繼續分解，即區間陣列元素為 1 

歸併排序的虛擬碼如下：

merge_sort(A, n){
 merge_sort_c(A, 0, n-1)
}
merge_sort_c(A, p, r){
 // 遞迴終止條件
 if (p>=r) then return
 // 取 p、r 中間的位置為 q
    q = (p+r)/2
 // 分治遞迴
 merge_sort_c(A[p, q], p, q)
 merge_sort_c(A[q+1, r], q+1, r)
 // 將A[p...q]和A[q+1...r]合併為A[p...r]  
 merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

4.1，歸併排序效能分析

1，歸併排序是一個穩定的排序演演算法。分析：虛擬碼中 merge_sort_c() 函數只是分解問題並沒有涉及移動元素和比較大小，真正的元素比較和資料移動在 merge() 函數部分。在合併過程中保證值相同的元素合併前後的順序不變，歸併排序排序就是一個穩定的排序演演算法。

2，歸併排序的執行效率與要排序的原始陣列的有序程度無關，所以其時間複雜度是非常穩定的，不管是最好情況、最壞情況，還是平均情況，時間複雜度都是 O(nlogn)O(nlogn)。分析：不僅遞迴求解的問題可以寫成遞推公式，遞迴程式碼的時間複雜度也可以寫成遞推公式：

3，空間複雜度是 O(n)。分析：遞迴程式碼的空間複雜度並不能像時間複雜度那樣累加。儘管演演算法的每次合併操作都需要申請額外的記憶體空間，但在合併完成之後，臨時開闢的記憶體空間就被釋放掉了。在任意時刻，CPU 只會有一個函數在執行，也就只會有一個臨時的記憶體空間在使用。臨時記憶體空間最大也不會超過 n 個資料的大小，所以空間複雜度是 O(n)O(n)。

五，快速排序（Quicksort）

快排的思想是這樣的：如果要排序陣列中下標從 p 到 r 之間的一組資料，我們選擇 p 到 r 之間的任意一個資料作為 pivot（分割區點）。我們遍歷 p 到 r 之間的資料，將小於 pivot 的放到左邊，將大於 pivot 的放到右邊，將 pivot 放到中間。經過這一步驟之後，陣列 p 到 r 之間的資料就被分成了三個部分，前面 p 到 q-1 之間都是小於 pivot 的，中間是 pivot，後面的 q+1 到 r 之間是大於 pivot 的。

根據分治、遞迴的處理思想，我們可以用遞迴排序下標從 p 到 q-1 之間的資料和下標從 q+1 到 r 之間的資料，直到區間縮小為 1，就說明所有的資料都有序了。

遞推公式如下：

遞推公式：
quick_sort(p,r) = quick_sort(p, q-1) + quick_sort(q, r)
終止條件：
p >= r

歸併排序和快速排序總結

歸併排序和快速排序是兩種稍微複雜的排序演演算法，它們用的都是分治的思想，程式碼都通過遞回來實現，過程非常相似。理解歸併排序的重點是理解遞推公式和 merge() 合併函數。同理，理解快排的重點也是理解遞推公式，還有 partition() 分割區函數。

除了以上 5 種排序演演算法，還有 3 種時間複雜度是 O(n)O(n) 的線性排序演演算法：桶排序、計數排序、基數排序。這八種排序演演算法效能總結如下圖：

參考資料

排序（上）：為什麼插入排序比氣泡排序更受歡迎？
排序（下）：如何用快排思想在O(n)內查詢第K大元素？

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