　　圖神經網路（GNN）目前的主流實現方式就是節點之間的資訊匯聚，也就是類似於折積網路的鄰域加權和，比如圖折積網路（GCN）、圖注意力網路（GAT）等。下面根據GCN的實現原理使用Pytorch張量，和呼叫torch_geometric包，分別對Cora資料集進行節點分類實驗。

　　Cora是關於科學文獻之間參照關係的圖結構資料集。資料集包含一個圖，圖中包括2708篇文獻（節點）和10556個參照關係（邊）。其中每個節點都有一個1433維的特徵向量，即文獻內容的嵌入向量。文獻被分為七個類別：電腦科學、物理學等。

GCN計算流程

　　對於某個GCN層，假設輸入圖的節點特徵為$X\in R^{|V|\times F_{in}}$，邊索引表示為序號陣列$Ei\in R^{2\times |E|}$，GCN層輸出$Y\in R^{|V|\times F_{out}}$。計算流程如下：

　　0、根據$Ei$獲得鄰接矩陣$A_0\in R^{|V|\times |V|}$。

　　1、為了將節點自身資訊匯聚進去，每個節點新增指向自己的邊，即 $A=A_0+I$，其中$I$為單位矩陣。

　　2、計算度（出或入）矩陣 $D$，其中 $D_{ii}=\sum_j A_{ij}$ 表示第 $i$ 個節點的度數。$D$為對角陣。

　　3、計算對稱歸一化矩陣 $\hat{D}$，其中 $\hat{D}_{ii}=1/\sqrt{D_{ii}}$。

　　4、構建對稱歸一化鄰接矩陣 $\tilde{A}$，其中 $\tilde{A}= \hat{D} A \hat{D}$。

　　5、計算節點特徵向量的線性變換，即 $Y = \tilde{A} X W$，其中 $X$ 表示輸入的節點特徵向量，$W\in R^{F_{in}\times F_{out}}$ 為GCN層中待訓練的權重矩陣。

　　即：

$Y=D^{-0.5}(A_0+I)D^{-0.5}XW$

　　在torch_geometric包中，normalize引數控制是否使用度矩陣$D$歸一化；cached控制是否快取$D$，如果每次輸入都是相同結構的圖，則可以設定為True，即所謂轉導學習（transductive learning）。另外，可以看到GCN的實現只考慮了節點的特徵，沒有考慮邊的特徵，僅僅通過聚合引入邊的連線資訊。

GCN實驗

調包實現

　　Cora的圖資料存放在torch_geometric的Data類中。Data主要包含節點特徵$X\in R^{|V|\times F_v}$、邊索引$Ei\in R^{2\times |E|}$、邊特徵$Ea\in R^{|E|\times F_e}$等變數。首先匯出Cora資料：

from torch_geometric.datasets import Planetoid

cora = Planetoid(root='./data', name='Cora')[0]
print(cora)

　　構建GCN，訓練並測試。

import torch
from torch import nn
from torch_geometric.nn import GCNConv
import torch.nn.functional as F
from torch.optim import Adam


class GCN(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, hidden_channels, class_n):
    super(GCN, self).__init__()
    self.conv1 = GCNConv(in_channels, hidden_channels)
    self.conv2 = GCNConv(hidden_channels, class_n)

  def forward(self, x, edge_index):
    x = torch.relu(self.conv1(x, edge_index))
    x = torch.dropout(x, p=0.5, train=self.training)
    x = self.conv2(x, edge_index)
    return torch.log_softmax(x, dim=1)

model = GCN(cora.num_features, 16, cora.y.unique().shape[0]).to('cuda')
opt = Adam(model.parameters(), 0.01, weight_decay=5e-4)

def train(its):
  model.train()
  for i in range(its):
    y = model(cora.x, cora.edge_index)
    loss = F.nll_loss(y[cora.train_mask], cora.y[cora.train_mask])
    loss.backward()
    opt.step()
    opt.zero_grad()

def test():
  model.eval()
  y = model(cora.x, cora.edge_index)
  right_n = torch.argmax(y[cora.test_mask], 1) == cora.y[cora.test_mask]
  acc = right_n.sum()/cora.test_mask.sum()
  print("Acc: ", acc)

for i in range(15):
  train(1)
  test()

　　僅15次迭代就收斂，測試精度如下：

張量實現

　　主要區別就是自定義一個My_GCNConv來代替GCNConv，My_GCNConv定義如下：

from torch import nn
from torch_geometric.utils import to_dense_adj

class My_GCNConv(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, out_channels):
    super(My_GCNConv, self).__init__()
    self.weight = torch.nn.Parameter(nn.init.xavier_normal(torch.zeros(in_channels, out_channels)))
    self.bias = torch.nn.Parameter(torch.zeros([out_channels]))
  
  def forward(self, x, edge_index):
    adj = to_dense_adj(edge_index)[0]
    adj += torch.eye(x.shape[0]).to(adj)
    dgr = torch.diag(adj.sum(1)**-0.5)
    y = torch.matmul(dgr, adj)
    y = torch.matmul(y, dgr)
    y = torch.matmul(y, x)
    y = torch.matmul(y, self.weight) + self.bias
    return y

　　其它程式碼僅將GCNConv修改為My_GCNConv。

對比實驗

MLP實現

　　下面不使用節點之間的參照關係，僅使用節點特徵向量在MLP中進行實驗，來驗證GCN的有效性。

import torch
from torch import nn
import torch.nn.functional as F
from torch.optim import Adam

class MLP(nn.Module):
  def __init__(self, in_channels, hidden_channels, class_n):
    super(MLP, self).__init__()
    self.l1 = nn.Linear(in_channels, hidden_channels)
    self.l2 = nn.Linear(hidden_channels, hidden_channels)
    self.l3 = nn.Linear(hidden_channels, class_n)

  def forward(self, x):
    x = torch.relu(self.l1(x))
    x = torch.relu(self.l2(x))
    x = torch.dropout(x, p=0.5, train=self.training)
    x = self.l3(x)
    return torch.log_softmax(x, dim=1)

model = MLP(cora.num_features, 512, cora.y.unique().shape[0]).to('cuda')
opt = Adam(model.parameters(), 0.01, weight_decay=5e-4)

def train(its):
  model.train()
  for i in range(its):
    y = model(cora.x[cora.train_mask])
    loss = F.nll_loss(y, cora.y[cora.train_mask])
    loss.backward()
    opt.step()
    opt.zero_grad()

def test():
  model.eval()
  y = model(cora.x[cora.test_mask])
  right_n = torch.argmax(y, 1) == cora.y[cora.test_mask]
  acc = right_n.sum()/cora.test_mask.sum()
  print("Acc: ", acc)

for i in range(15):
  train(30)
  test()

　　可以看出MLP包含了3層，並且隱層引數比GCN多得多。結果如下：