加強堆結構說明

作者：Grey

原文地址：

關於堆和堆排序的說明

基礎的堆結構可以實現資料入堆和出堆以後（即: 呼叫堆的 pop 和 push 方法），使用O(logN)的時間複雜度可以將堆調整好，如果使用的是 Java 語言，可以用 java.util 包中的 PriorityQueue 實現堆的所有操作。

但是，在實際場景中，有一種情況是：在已知的一個堆中，堆中任意一個元素變換後，也要以O(logN)的時間複雜度把堆結構調整正確。這是 Java 語言自帶的堆結構(PriorityQueue)無法做到的，這就引入了「加強堆」的概念。「加強堆」提供如下方法

    public void resign(T obj) {
      
    }

這個方法表示，對於堆中任意的一個元素 obj，如果調整了其對應的數值，整個堆結構還能在時間複雜度O(logN)下調整好。

普通堆結構之所以無法做到，是因為普通的堆結構沒有記錄任意一個資料所在的位置資訊，所以無法從對應的位置進行堆結構調整。所以，「加強堆」結構引入了一個 HashMap

HashMap<T, Integer> indexMap; // 元素在堆中的位置

有了這個HashMap, 就可以很方便得到某個資料項在堆中的位置是什麼，在堆的pop和push方法中，要把HashMap的邏輯加入

    public void push(T obj) {
      heap.add(obj);
        // obj 這個資料在堆中是什麼位置
      indexMap.put(obj, heapSize);
      heapInsert(heapSize++);
    }

    public T pop() {
      T ans = heap.get(0);
      swap(0, heapSize - 1);
      // 要把對應的obj在堆中直接刪除
      indexMap.remove(ans);
      heap.remove(--heapSize);
      heapify(0);
      return ans;
    }

更重要的是，在堆的 heapify 和 heapInsert 操作中，涉及到的堆中兩個元素的交換，也要把堆中元素的位置進行交換。

// 不要忘記把堆中元素的位置也要做交換！！！！
    private void swap(int i, int j) {
      T o1 = heap.get(i);
      T o2 = heap.get(j);
      heap.set(i, o2);
      heap.set(j, o1);
      indexMap.put(o2, i);
      indexMap.put(o1, j);
    }

以上是鋪墊，到了最核心的resign方法，其邏輯如下

    public void resign(T obj) {
      heapInsert(indexMap.get(obj));
      heapify(indexMap.get(obj));
    }

整個過程也非常好理解，就是找到變化的那個資料項的位置，然後執行heapify和heapInsert，由於變換過程無非是變大或者變小，所以找到變換的位置，heapify和heapInsert操作只會執行一個操作！另外一個操作進去以後會直接跳出。

加強堆的完整程式碼如下（支援泛型）:

import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.HashMap;
import java.util.List;

public class Code_CustomHeap {

  // 自己手寫堆
  public static class HeapGreater<T> {

    private ArrayList<T> heap;
    private HashMap<T, Integer> indexMap; // 元素在堆中的位置
    private int heapSize; // 和heap配合使用
    private Comparator<? super T> comp;

    public HeapGreater(Comparator<T> c) {
      heap = new ArrayList<>();
      indexMap = new HashMap<>();
      comp = c;
    }

    public boolean isEmpty() {
      return heapSize == 0;
    }

    public int size() {
      return heapSize;
    }

    public boolean contains(T obj) {
      return indexMap.containsKey(obj);
    }

    public T peek() {
      return heap.get(0);
    }

    public void push(T obj) {
      heap.add(obj);
      indexMap.put(obj, heapSize);
      heapInsert(heapSize++);
    }

    public T pop() {
      T ans = heap.get(0);
      swap(0, heapSize - 1);
      indexMap.remove(ans);
      heap.remove(--heapSize);
      heapify(0);
      return ans;
    }

    public void remove(T obj) {
      T replace = heap.get(heapSize - 1);
      int index = indexMap.get(obj);
      indexMap.remove(obj);
      heap.remove(--heapSize);
      if (obj != replace) { // obj == replace表示刪掉的是最後一個位置的資料，此時不需要進行resign操作
        heap.set(index, replace);
        indexMap.put(replace, index);
        resign(replace);
      }
    }

    public void resign(T obj) {
      heapInsert(indexMap.get(obj));
      heapify(indexMap.get(obj));
    }

    // 請返回堆上的所有元素
    public List<T> getAllElements() {
      List<T> ans = new ArrayList<>();
      for (T c : heap) {
        ans.add(c);
      }
      return ans;
    }

    private void heapInsert(int index) {
      while (comp.compare(heap.get(index), heap.get((index - 1) / 2)) < 0) {
        swap(index, (index - 1) / 2);
        index = (index - 1) / 2;
      }
    }

    private void heapify(int index) {
      int left = index * 2 + 1;
      while (left < heapSize) {
        int best =
            left + 1 < heapSize && comp.compare(heap.get(left + 1), heap.get(left)) < 0
                ? (left + 1)
                : left;
        best = comp.compare(heap.get(best), heap.get(index)) < 0 ? best : index;
        if (best == index) {
          break;
        }
        swap(best, index);
        index = best;
        left = index * 2 + 1;
      }
    }

    private void swap(int i, int j) {
      T o1 = heap.get(i);
      T o2 = heap.get(j);
      heap.set(i, o2);
      heap.set(j, o1);
      indexMap.put(o2, i);
      indexMap.put(o1, j);
    }
  }
}

使用加強堆來解決的問題範例，見使用加強堆解決 topK 問題

演演算法和資料結構筆記

參考資料

演演算法和資料結構體系班-左程雲

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