論人類下一代語言的可能—4.3數學與自然語言的一些比較

我們先從數學應用的例子開始。這一主題下很容易想到牛頓的《自然哲學的數學原理》。在這本書裡，牛頓大量使用了文字的敘述，定律往往是先給出命題的語句表述，在證明與求解時才回到數學。然而正如書名所示，本書實質是用數學描述經典物理學，為此牛頓還發明瞭稱為「流數術」的微積分。牛頓在本書的「致讀者—作者的序言」開始處寫到：

「由於古代人（正如帕普斯所說）在自然事物的研究中極重視力學；而現代人，拋開實體的形式和隱藏的性質（qualitates occultae）,努力使自然現象從屬於數學的定律；因此這一專著的目的是發展數學，直到它關係到哲學時為止」[i]。

牛頓把其理論組成了公理化系統，書的前二章分別是「定義」與「公理或運動定律」。在「定義」這一章節他給出了所用概念的定義，它們是：質量、慣性、力、向心力等，另外附註裡牛頓提到了時間與空間的定義，他認為這應該是人們熟知而可預設的。在第二章節「公理或運動定律」裡牛頓給出了他的三大運動定律，以今天的標準，萬有引力定律也應該放在這。在這二章節內容的基礎上，更多的內容在後面章節演繹出。牛頓的《自然哲學的數學原理》是近現代科學形成的標誌。

公理化系統的概念、命題可以是用自然語言表述，也可以用數學表述，在這一意義上，自然語言與數學形成了比較關係。應用數學時，會使用各種數位，更典型的是代表數量的字母：a、b……x、y，以及其他抽象符號替代了文字詞彙，由數學方程、函數等公式替代語句命題，然後是通過公式的轉換計算展開它的系統。我們可以具體比較下萬有引力定律的數學表示與自然語言表示。數學公式的表示是：F=（Gm1m2）/r²。自然語言語句的一般表述是：自然界中任何兩個物體相互吸引，引力的大小跟這兩個物體的質量乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。直觀上我們也能知道數學公式的表示更簡潔、精確，自然語言語句的表示複雜且不準確，在上面常見的萬有引力表達語句中，直接忽略了引力常數G。

應用數學時，各種數位以及代表數量的字母，都是對應至不同型別的數，各型別的數是在同一譜系裡的存在。同型別的數，相互之間有著確定的關係；簡單型別的數，可視為複雜型別數的特例。這些符號用於標識物件時，它們直接的意義都是同樣的理解——被標識物件某些方面通過計量可對應的結果。數學通常說是關於量的學問，相比較，自然語言更多是描述事物的質。質與量並不一定是一種對立，有質的地方，往往有可感知的廣延，廣延指物件的某一性質的感知在程度或順序上的不同，應用中一個量就是標識一個或多個向度上的廣延：長度、面積、角度、比例、速度、頻率……

計量是一種可實施的操作，對不同環境中不同型別量的計量需要發展出不同的計量技術。除了計量實施的直接間接性差異外，原理都是相同的。應用上測量的主要問題是精度問題，測量能得到的是某個精度下的值，而不會是絕對精確的值，在給定計量單位下不可以測量的無理數，實用角度來說，也是精度要求與確定逼近計算方法的問題。計量帶來了符號與物件統一的對應方式，計量操作是針對物件進行的，這也使這種對應關係具有一定的客觀性。

自然語言裡的命名，樸素地說是事物分門別類得到的，本質上是自由的、約定的。自然語言裡能指與所指的對應，沒有統一可操作的程式來達成，每一符號的理解是具體的，需要不同的感知、經驗或其他的智力因素來達到意義。自然語言背後的分類與劃分，所產生的概念很容易相互交叉或矛盾，並帶來思維上的混亂。如「正義」、「美麗」這樣一些概念，它們在質上就是說不清楚的。

認識上我們知道速度這種量，把速度的變化識別為另一個量——加速度，就不是顯而易見的事。量是普遍存在的，只是它可能被紛亂的現象掩蓋，把物件、物件的某一屬性、物件間的某種關係或其他要素識別為一種量，建立起計量方法，很多時候是認知的藝術。一個概念被抽象出來，可能是先發現一種可計量或可計算的方法，時間的概念就有這樣的性質。人類在時間、空間計量上的進步，一直推動著我們的認知與實踐更加有序。

通過量的標識，原來各種各樣的感知現在可以以同樣的形式呈現，成為可以相互比較、計算的存在。不同商品以貨幣計量後變得可交換，正是這種實踐延伸的一個結果。在「媒介視角的語言觀——符號使用的開始」一節裡我們說到：「本書也認為上面的結論反證地來說更有意義：如果我們能找到一種普適的關係關聯媒介形態與其指稱的物件，我們將創造一種超級的語言」，數學正是這種超級語言。

我們回到萬有引力定律自然語言表示與數學公式表示的比較。數學公式（Gm1m2）/r²，在一個表達中列示了所有要素與關係，每一部分與其他部分處於固定的關聯中。數學公式以一種簡潔、整體的結構形式直接刻畫了要素與要素間的關係（複雜的情形中，也有程度的問題）。用自然語言的語句表示時，需要分解成多個陳述句來表示。大腦需要把分散的多個符號串的描述合成一個可理解的圖景。自然語言在認知方向的使用，應用的主要是陳述句，其他型別的語句如果用到也只是一種輔助的作用。一般的觀點，英文裡的陳述句大概是五種句型。可以發現不管什麼句型，陳述句多是隻有一個主語。自然語言的語句是焦點化的，每一語句傾向於降解到單一維度單一關係來講解，這樣稍微複雜一點的事情，就得構造多個子句來描述。

自然語言裡陳述句的句型非常有限。各種各樣的內容，自然語言裡都是以同樣這幾種句型結構形成表達。顯然，句型結構並不表現被表徵事件可能具有的結構、關係、變化、規律，也不可能表現。使用上的關鍵是正確地組合子句，以及每一子句選取合適的詞彙來配列，這種選擇相當靈活，通常不存在唯一的組合。數學公式是一整體性的結構，不同公式各有其結構；每一公式中，各成分間處於確定的關係中，每一成分的形式並不是要點，只要能保持簡潔且不會發生歧義，每一成分選擇什麼字母或其他符號沒有實質的影響，它們只是預留位置而已。

可以看出，陳述句型只是一類主觀的表述結構。自然語言裡的每一個語種，其中的句型是在其歷史過程中塑造出的。那些基礎的句型，如各語種中普遍存在的主謂句型，最可能是源於對人類日常活動的描述、我們將其中的形式固化泛化，應用於其他不同性質事件的描述。這會殘留著擬人化的影子，並可能導致了歷史早期階段萬物有靈論的泛濫。對現代人類來說，很容易明白並適應這裡的遊戲規則，而不會產生理解困惑。擴大來說，自然語言的語法是表述方式的規則，其本身並不反映物件世界的任何的規律，其用途是創造線性空間上不同型別詞彙組合的規則性。這種規則性的形成表面上由社會性心理習慣推動，背後實際也受到所用媒介場的約束。

數學公式的表示不只是一種靜態的表義，而是一種演算裝置。在領域理論構建時，如牛頓的《自然哲學的數學原理》那樣，一組符號與數學公式構成領域公理化系統的初始，這些初始的符號、公式可來自一個或多個數學分支。從這組符號與公式出發，通過邏輯與數學的演繹，可推出其他的符號、公式，最終形成一個系統。理論應用時，公理系統裡的初始的符號、公式或它們的範例，或者這些公式進一步推匯出的其它公式的範例，可用來為實際問題建模，解釋本領域可觀察到的現象，或解決實際的問題。領域現象的任一狀態可以體現為建模公式各個量上的一個特定取值組合，反過來，各個量在其值域範圍符合建模公式的一個取值組合，是領域現象可能的一個狀態。通過模型，可以從一些自變數計算出因變數。條件所限無法實施測量的量，建立與可計量的量的數學公式，就可能通過數學公式計算得出各狀態下的量值。如果時間是公式裡的一個自變數，通過公式運算得到其他量的值，我們也就可以推知現象的過去與將來。

為實際問題所建立的模型，能夠完全準確地反映現象可能的狀態。這也源自數學的特性，從最簡單的方面來說，長度測量時，測量結果都會對應一個實數數值。你可以去懷疑是否任意一個實數數值在現實中都能找到一個對應的實際長度，但你不用擔心測量的結果沒有數位對應。前面說過，實數應用了無限的概念，其實現的效果是：實數是無限且緻密的。

從初始的符號、公式開始，通過演繹得到其他的符號、公式，理論上說，這個過程除數學分支及邏輯的符號與公式外，不需要另外引入其他的符號與公式，符號與公式的使用是閉合的。另一方面，從數學分支裡選用公式或其範例來描寫領域的規律時，為支援數學公式的演算：公式的結合、轉換、派生以及數值計算等，需要將所參照數學公式關聯的內容也帶進來，結合領域裡的約束條件，演繹操作才能進行。在本書裡稱數學這種性質的應用是一種投射應用。

數學投射型的應用中，一方面提供了數學公式來描寫領域規律或事實，另一方面數學公式及其關聯的數學分支裡的內容自帶了符號操作的規則，二方面是合二為一的 。在自然語言應用中，表述方式與內容是分開的二個方面。自然語言的語法只是一種組織表述的主觀規則。自然語言應用於具體領域時，語言本身只是提供組合的方法與一些通用的詞彙。領域裡的專用術語還需要另外構造，領域的各種結論也是專門組成的語句。構詞與造句時主要考慮語意，同時要遵循語法的要求。比喻地來說，自然語言用於構建知識時，建築是從沙、石、水泥開始的；數學的應用則可直接提供預製件，來匹配使用。正因如此，自然語言更適合作為通用的表述工具。