圖的最短路徑問題 詳細分解版
圖的最短路徑問題 詳細分解版
1.圖的最短路徑問題分類
2.單源最短路問題
2.1邊權值都是正數情況
2.1.1 樸素Dijstra演演算法
演演算法思想：每次從未被確定最短距離的結點中找出距離起點最小值的結點，加入集合s中，並用該結點更新其他未被確定最短路徑值得結點路徑。直到最終全部節點的最短路徑值都計算出，此時集合s為所有結點集合。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N];//稠密圖，鄰接矩陣儲存
int st[N];//是否被存取過，即是否在s集合中
int dist[N];//記錄每個點到起點的距離
int n,m;
//返回編號為n的結點到1號結點的最短路徑
int dijstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);//將距離初始化為無窮大
dist[1]=0;//1號結點距離初始化為0
for(int i=0;i<n;i++){//n輪迴圈，每次找出一個結點，加入s集合，並用其更新其他節點dist陣列。必須有n輪迴圈，因為要更新dist陣列
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){//迴圈找出當前距離起始的1號結點最近，且未加入s的結點
if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])){
t=j;
}
}
st[t]=true;//將該結點加入s陣列
for(int j=1;j<=n;j++){//迴圈更新其他節點距離
if(!st[j]){
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;//如果dist[n]未被更新，說明其不可達
return dist[n];
}
int main(){
memset(g,0x3f,sizeof g);//初始化結點間的距離為無窮大
cin>>n>>m;//輸入資料包含n個結點，m條邊
int a,b,c;
while(m--){
cin>>a>>b>>c;//輸入m條邊，輸入資料存在自環和重邊，取最小值即可
g[a][b]=min(g[a][b],c);
}
cout<<dijstra()<<endl;
return 0;
}
演演算法分析：演演算法包含兩輪迴圈，時間複雜度為\(O(n^2)\)
2.1.2 堆優化的Dijstra演演算法
優化思想：樸素Dijstra演演算法每次都要找出當前距離起點最近的結點，加入集合s中。我們可以使用堆來維護結點距離起點的距離，省去一重回圈。
//稀疏圖的dijstra
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1.5e5+10;
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx;//稀疏圖，採用鄰接表儲存
int n,m;//n個結點，m條邊
int dist[N];//距離陣列
bool st[N];//是否存取過，即s集合標記
typedef pair<int, int> PII;//使用堆自動排序，pair的first為距離，second為編號
void add(int a,int b,int c){//新增結點a->b的邊，權值為c
e[idx]=b;
w[idx]=c;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
int dijstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;//宣告小根堆
q.push({0,1});//1號結點加入佇列
while(!q.empty()){
PII t=q.top();
q.pop();
int distance=t.first,x=t.second;
if(st[x]) continue;//距離已經確定，跳過
st[x]=true;
for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[x]+w[i]<dist[j]){
dist[j]=dist[x]+w[i];
q.push({dist[j],j});
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main(){
cin>>n>>m;
int a,b,c;
memset(h,-1,sizeof h);
while(m--){
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
cout<<dijstra()<<endl;
return 0;
}
演演算法分析：
時間複雜度：每次找到最小距離的點沿著邊更新其他的點，若dist[j] > distance + w[i]，表示可以更新dist[j]，更新後再把j點和對應的距離放入小根堆中。由於點的個數是n，邊的個數是m，在極限情況下（稠密圖\(m=\frac{n*n(n-1)}{2}\)）最多可以更新m回，每一回最多可以更新\(n^2\)個點（嚴格上是n - 1個點），有m回，因此最多可以把\(n^2\)個點放入到小根堆中，因此每一次更新小根堆排序的情況是\(O(log(n^2))\)，一共最多m次更新，因此總的時間複雜度上限是\(O(mlog((n^2)))=O(2mlogn)=O(mlogn)\)
疑問：為什麼會存在距離已經確定了點在堆中？
因為可能上次新加入集合s的元素更新了a的距離值，但是距離值很大，直到a的距離值確定了才pop出來。
2.2邊權值存在負數的情況
2.2.1 Bellman-ford演演算法
演演算法思想：如果圖中存在n個點，那麼經過n-1次迴圈，每輪迴圈時把每條邊都進行鬆弛操作，若在 n-1 次鬆弛後還能更新，則說明圖中有負環，因此無法得出結果，否則就完成。
鬆弛操作：
for n次
for 所有邊 a,b,w (鬆弛操作)
dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)
注意：back[] 陣列是上一次迭代後 dist[] 陣列的備份，由於是每個點同時向外出發，因此需要對 dist[] 陣列進行備份，若不進行備份會因此發生串聯效應，影響到下一個點。
在下面程式碼中，是否能到達n號點的判斷中需要進行if(dist[n] > INF/2)判斷，而並非是if(dist[n] == INF)判斷，原因是INF是一個確定的值，並非真正的無窮大，會隨著其他數值而受到影響，dist[n]大於某個與INF相同數量級的數即可。
bellman - ford演演算法擅長解決有邊數限制的最短路問題。
//本程式碼是解決有邊數限制的最短路徑問題的程式碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n,m,k;
int dist[510],backup[510];
struct{
int a,b,w;
}edges[N];//a->b有一條邊，權重為w
int bellman_ford(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
for(int i=0;i<k;i++){//最多k條邊，總共最對經過k條邊
memcpy(backup,dist,sizeof dist);
for(int j=0;j<m;j++){//對所有的m條邊執行鬆弛操作
int a=edges[j].a,b=edges[j].b,w=edges[j].w;
if(backup[a]+w<dist[b]){
dist[b]=backup[a]+w;
}
}
}
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -0x3f3f3f3f;
else return dist[n];
}
int main(){
cin>>n>>m>>k;
int a,b,w;
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>a>>b>>w;
edges[i]={a,b,w};
}
int ans=bellman_ford();
if(ans==-0x3f3f3f3f){
cout<<"impossible"<<endl;
}else{
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
演演算法分析：
時間複雜度：\(O(nm)\),其中n為點數，m為邊數
2.2.2 SPFA演演算法
演演算法思想：優化了Bellman-ford演演算法。在Bellman-ford演演算法中，dist[b] = min(dist[b],back[a] + w),如果a的距離沒有更新，那麼我的迴圈其實做了很多沒用的操作。所以我們希望當a的距離更新時 ，再去用a更新其他結點的距離值。演演算法思想類似於Dijstra演演算法。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int e[N],w[N],h[N],ne[N],idx;
int n,m;
int st[N];//記錄結點是否在佇列中，即是否發生更新
int dist[N];
void add(int a,int b,int c){
e[idx]=b;
w[idx]=c;
ne[idx]=h[a];
h[a]=idx++;
}
int spfa(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
queue<int> q;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i]){//鬆弛操作
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j]){//結點發生距離更新，所以可以用該結點去更新其他結點
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -0x3f3f3f3f;
return dist[n];
}
int main(){
memset(h,-1,sizeof h);
cin>>n>>m;
int a,b,c;
while(m--){
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
int ans=spfa();
if(ans==-0x3f3f3f3f) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<ans<<endl;
return 0;
}
演演算法分析：
Bellman_ford演演算法裡最後return -1的判斷條件寫的是dist[n]>0x3f3f3f3f/2;而spfa演演算法寫的是dist[n]==0x3f3f3f3f;其原因在於Bellman_ford演演算法會遍歷所有的邊，因此不管是不是和源點連通的邊它都會得到更新；但是SPFA演演算法不一樣，它相當於採用了BFS，因此遍歷到的結點都是與源點連通的，因此如果你要求的n和源點不連通，它不會得到更新，還是保持的0x3f3f3f3f。
Bellman_ford演演算法可以存在負權迴路，是因為其迴圈的次數是有限制的因此最終不會發生死迴圈；但是SPFA演演算法不可以，由於用了佇列來儲存，只要發生了更新就會不斷的入隊，因此假如有負權迴路請你不要用SPFA否則會死迴圈。
由於SPFA演演算法是由Bellman_ford演演算法優化而來，在最壞的情況下時間複雜度和它一樣即時間複雜度為 \(O(nm)\) ，假如題目時間允許可以直接用SPFA演演算法去解Dijkstra演演算法的題目。
求負環一般使用SPFA演演算法，方法是用一個cnt陣列記錄每個點到源點的邊數，一個點被更新一次就+1，一旦有點的邊數達到了n那就證明存在了負環。
3.多源匯最短路徑問題
Floyd演演算法
演演算法思想：三重回圈，動態規劃思想。\(dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j])\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510,INF=1e9;
int g[N][N];//g[i][j]記錄i->j的最短路徑
int n,m,Q;
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>Q;
for(int i=1;i<=n;i++){//初始化陣列
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j) g[i][j]=0;
else g[i][j]=INF;
}
}
while(m--){//輸入m條邊
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
g[a][b]=min(g[a][b],c);
}
floyd();
while(Q--){//Q次查詢
int a,b;
cin>>a>>b;
if(g[a][b]>INF/2) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<g[a][b]<<endl;
}
return 0;
}
演演算法分析：三重回圈，floyd演演算法時間複雜度為\(O(n)\)