202206007 模擬賽總結

蓋房子

\(n\times n\) 的矩形中選出一個邊長為 \(k\times k\) 的子矩陣，使得中位數最小

中位數定義為子矩陣中第 \(\lfloor\dfrac{k^2}{2}\rfloor+1\) 大的數，\(n\le 800\)

比較顯然的二分，二分答案 \(mid\) 。另 \(b_{i,j}=[a_{i,j}>mid]\) ，作二維字首和

如果 \(b\) 存在子矩陣使得 \(s\le\lfloor\dfrac{k^2}{2}\rfloor\) ，則 \(mid\) 可行且可以縮小，反之需要增大，\(O(n^2\log n^2)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 805;
int n, K, a[N][N], s[N][N], t[N * N], le, L, R, mid, res;
inline bool chk(int val) {
    memset(s, 0, sizeof(s));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + (a[i][j] > val);
    for (int i = K, x, y, t; i <= n; i++)
        for (int j = K; j <= n; j++) {
            x = i - K + 1, y = j - K + 1;
            t = s[i][j] - s[x - 1][j] - s[i][y - 1] + s[x - 1][y - 1];
            if (t <= K * K / 2)
                return true;
        }
    return false;
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &K);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &a[i][j]), t[++le] = a[i][j];
    sort(t + 1, t + le + 1);
    le = unique(t + 1, t + le + 1) - t - 1;
    L = 1, R = le;
    while (L <= R) {
        mid = L + R >> 1;
        if (chk(t[mid]))
            res = mid, R = mid - 1;
        else
            L = mid + 1;
    }
    printf("%d", t[res]);
}

移動棋子

\((2n+1)\times(2n+1)\) 的棋盤，行、列的編號都為 \(0,1,\cdots,2n\) ，棋盤上有 \(m\) 個棋子。

在 \((0,n)\) 開始移動。設當前在 \((i,j)\)

若 \((i+1,j)\) 沒有棋子且沒有出界，可以移動到 \((i+1,j)\)
若 \((i+1,j-1)\) 沒有棋子且沒有出界，可以移動到 \((i+1,j-1)\)
若 \((i+1,j+1)\) 沒有棋子且沒有出界，可以移動到 \((i+1,j+1)\)

求能到達第 \(2n\) 行的位置的數量，\(n\le 10^9,m\le 2\times 10^5\)

最終的答案可以轉換為起點最後能否到達一些縱座標。（一直往下走即可）

用 set 維護，排序後依次處理，設當前棋子在 \((x,y)\)

\(y-1\) 或 \(y+1\) 能到，且 \(y\) 不能到，則需要加入 set
\(y-1\) 和 \(y+1\) 都不能到，且之前 \(y\) 能到，則需要從 set 中刪除

答案為最終集合大小，\(O(m\log m)\)

注意同一行需要同時處理，暫存一下即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 4e5 + 5;
int n, m, res, b[N], c[N], t1, t2;
struct P { int x, y; } a[N];
set<int> s;
inline int f(int x) { return s.find(x) != s.end(); }
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
    sort(a + 1, a + m + 1, [](P A, P B) { return A.x ^ B.x ? A.x < B.x : A.y < B.y; });
    s.insert(n);
    for (int i = 1, y; i <= m + 1; i++) {
        if (a[i].x ^ a[i - 1].x) {
            while (t1) s.insert(b[t1--]);
            while (t2) s.erase(c[t2--]);
        }
        if (i > m) break;
        y = a[i].y;
        if ((f(y - 1) || f(y + 1)) && !f(y)) b[++t1] = y;
        if ((!f(y - 1) && !f(y + 1)) && f(y)) c[++t2] = y;
    }
    res = s.size();
    printf("%d", res);
}

清理花園

\(n\) 個數 \(a_i\) ，初始可以刪除最多 \(K\) 個數

一次操作為選出最大的 \(a_i\) ，刪除所有大於 \(\frac{max}{2}\) 的數。

求最小化操作次數的前提下，最少刪除數的個數，\(n\le 2\times 10^5\)

排序，設 \(f_{i,j}\) 為前 \(i\) 個用了 \(j\) 次操作最少刪除，其中 \(1\le j\le\log_2 a\)

則 \(f_{i,j}=\min(f_{i-1,j}+1,f_{k,j-1})\) ，\(k\) 表示高度不超過 \(\frac{a_i}{2}\) 的數的編號

轉移為 \(O(1)\) ，狀態數 \(O(n\log n)\) ，總 \(O(n\log n)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 2e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, K, a[N], f[N][35], mx;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &K);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    sort(a + 1, a + n + 1);
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1, k; i <= n; i++) {
        k = upper_bound(a + 1, a + n + 1, a[i] / 2) - a - 1;
        mx = log2(a[i]) + 1;
        f[i][0] = f[i - 1][0] + 1;
        for (int j = 1; j <= mx; j++)
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[k][j - 1]);
    }
    for (int i = 0; i <= mx; i++)
        if (f[n][i] < INF && f[n][i] <= K)
            return printf("%d %d", i, f[n][i]), 0;
}

疫情延遲

\(n\) 點 \(m\) 邊的有向圖，一條邊為 \((u,v,w,k)\) ，其中 \(k\) 表示這一條邊的年齡

要求刪除一些邊，使的從 1 到 \(n\) 的最短路 \(dis\ge T\) ，求刪除邊的最大年齡最小

\(n,m\le 10^5\)

又是二分，二分刪除的最大年齡，則所有 \(k>mid\) 的邊都可以走，算最短路

若 \(dis\ge T\) 則 \(mid\) 可行且可以更小，否則需要增大，\(O(n\log n\log m)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N = 2e5 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, T, lst[N], Ecnt, L, R, b[N], le, mid, res, dis[N], vis[N];
struct Ed { int to, nxt, qz, cs; } e[N];
inline void Ae(int fr, int go, int vl, int k) {
    e[++Ecnt] = (Ed){ go, lst[fr], vl, k }, lst[fr] = Ecnt;
}
struct P {
    int x, d;
    bool operator < (P A) const {
        return d > A.d;
    }
};
priority_queue<P> Q;
inline bool chk(int val) {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dis[1] = 0;
    Q.push((P){ 1, 0 });
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.top().x; Q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int i = lst[u], v; i; i = e[i].nxt)
            if (dis[u] + e[i].qz < dis[v = e[i].to] && e[i].cs > val)
                dis[v] = dis[u] + e[i].qz, Q.push((P){ v, dis[v] });
    }
    return dis[n] >= T;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &T);
    for (int i = 1, u, v, w, k; i <= m; i++)
        scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &w, &k), Ae(u, v, w, k), b[++le] = k;
    if (chk(0)) return printf("-1 %d", dis[n]), 0;
    sort(b + 1, b + le + 1);
    le = unique(b + 1, b + le + 1) - b - 1;
    L = 1, R = le, res = b[le] + 1;
    while (L <= R) {
        mid = L + R >> 1;
        if (chk(b[mid]))
            res = min(res, b[mid]), R = mid - 1;
        else L = mid + 1;
    }
    printf("%d", res);
}

總結

二分不要打掛，注意 check
注意情況考慮全
\(n\) 在 \(10^5\) 級也不要放棄 DP

202206007 模擬賽 總結

蓋房子

移動棋子

清理花園

疫情延遲

總結