概率論必背知識點

2022-01-06 11:00:04

理解背誦

概率基礎

條件概率，乘法公式

全概率公式

貝葉斯公式

一維隨機變數

離散型隨機變數分佈律，分佈函數

連續性隨機變數分佈函數，概率密度

連續性隨機變數函數概率密度：單調、普通（分佈函數--求導-->概率密度）

二項分佈 X~B（n，p）分佈律 E（X）=np D(X)=np（1-p）

泊松分佈X~P( $\lambda$ ) 分佈律P{X=k}= $\lambda$ ^k/k! e^(- $\lambda$ ) E(X)=D(X)= $\lambda$

均勻分佈X~U(a,b) 概率密度 E(x)=1/2(a+b) D(X)=(b-a)^2/12

指數分佈X~E( $\lambda$ ) 概率密度= $\lambda$ e^(- $\lambda$ x) E(x)=1/ $\lambda$ D(X)=1/ $\lambda$ ^2

正態分佈X~N（u ， $\delta$ ^2）概率密度 E(X)=u D(X)= $\delta$ ^2

標準正態分佈標準化變化

卡方分佈X^2(n) E(X)=n D(X)=2n

二維隨機變數

離散型二維隨機變數聯合分佈律判斷x，y是否獨立：分佈律判斷

連續型二維隨機變數聯合概率密度邊緣概率密度條件概率密度判斷x，y是否獨立：邊緣概率密度判斷

連續型二維隨機變數函數 Z=X+Y Z=XY Z=max{X,Y}

數學期望，方差，協和差

離散型隨機變數數學期望

離散型隨機變數函數數學期望

連續性隨機變數數學期望

連續性隨機變數函數數學期望

方差基本定義式公式

期望的運算規則

方差的運算規則

離散型二維隨機變數數學期望E(XY)= $\Sigma x_iy_ip$

連續型二維隨機變數數學期望 $E(g(x,y))=\int \int g(x,y)f(x,y)dxdy$

協和差 Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,y)+Cov(X2,Y)

相關係數獨立一定不相關，不相關不一定獨立

切比雪夫不等式

大數定理及中心極限定理

獨立、同分布中心極限定理獨立、同分布、期望、方差存在、求和 p公式

二項分佈中心極限定理 X~B(n,p)近似與N(np,np(1-p)) p公式

抽樣分佈

常用統計量樣本均值 $\bar{X}$ 樣本方差 S^2 =總體方差 $\delta ^2$ /n

常考性質樣本均值的期望為總體期望樣本方差=總體方差/n 樣本方差期望=總體方差

樣本均值與樣本方差相互獨立

樣本均值和樣本方差標準化近似於標準正態分佈

三種常見分佈

卡方分佈 n個獨立標準正太分佈的平方和服從自由度為n的卡方分佈

性質兩個卡方分佈的和服從自由度為自由度和的卡方分佈

上側分位數卡方分佈大於一個常數的概率為卡方分佈的下標

t分佈獨立標準正太分佈除以根號下自由度為n的卡方分佈除以n 的分佈服從自由度為n的t分佈

性質

F分佈 獨立自由度為n1的卡方分佈除以 n1 除以自由度為n2的卡方分佈除以 n2 的分佈服從自由度為(n1,n2)的F分佈

性質自由度順序相反的F分佈互為倒數

自由度順序相反的F分佈互為倒數，且F下標和為1

引數估計

矩估計 u1=E(X)=f( $\Theta$ ) 反解引數 $\Theta$ $\Theta$ 的矩估計量為反解函數用 $\bar{X}$ 替換u1

最大似然估計構造似然函數為概率密度函數連乘取對數對引數 $\Theta$ 求導解出最大似然估計量 $\Theta$ （X變為大寫）

無偏估計 E（ $\Delta$ ）= $\Theta$ 則 $\Delta$ 是 $\Theta$ 的無偏估計

估計量的優良性準則無偏性有效性相合性

區間估計

置信區間求解 ①定型別，擺公式 ②計算各分量 ③代入公式

假設檢驗

假設檢驗提出假設:H0和H1 定型別，擺公式計算統計量和拒絕域定論、總結

兩類錯誤一棄真，二取偽

迴歸分析

相關係數 $r=\frac{l_{xy}}{\sqrt{l_{xx}l_{yy}}}$