從控制理論的角度談資料分析

從控制理論的角度談資料分析

如題，淺談自己對數學物理模型的認知。這一篇文章也是為了1024勳章，刻意趕製的一篇文章，沒有存稿，就簡單表述一下自己的想法吧。有問題歡迎大家一起來交流討論。

我的專業方向和控制是脫離不開關係的，在大三之後，學習到現代控制理論、測試技術、計算機控制原理之後，我才真正意識到應該將數學模型上升到一個的動態系統。資料分析實則是對系統狀態的估計。 這是我這段時間來產生的新的體悟。

在做機器人控制的時候，難免會遇到一個問題——導航。那什麼是導航？導航的任務涵蓋了三個部分：

1. 我（機器人）在哪裡？
2. 我（機器人）要去哪裡？
3. 我（機器人）要怎麼過去？

我們工作是圍繞著這三個問題展開的。首先第一個問題，定位。我們怎樣來實現定位——機器人在哪裡？

機器人的定位是建立在它感知的基礎上的。感知來源於探測器，通常包括了光學感測器如攝像頭、鐳射雷達、超聲測距等等。我暫且把這些感測器得到的資料稱為觀測資料。看過我統計圖形識別系列學習筆記的朋友們一定知道貝葉斯先驗分佈和後驗分佈。即如何從觀測資料得到機器人當前在世界座標系的位姿？下面我直接參照我在統計圖形識別學習筆記（二）中的話了。

我們如何通過觀測資料 $x$ 來估計機器人此刻的狀態？
簡而言之，我們希望通過觀測資料 $x$ 來推斷出狀態（以及它們的概率分佈）。所以，我們說對機器人狀態的估計，就是已知觀測資料 $x$ 的條件下，計算狀態的條件概率分佈：
$$p({\varpi }_i|x)$$
為了和前文有較好的銜接，表示式中用的是 ${\varpi }_i$ 和 $x$ 。而上式也被稱為後驗概率。利用貝葉斯公式，後驗概率也可以表示為：
$$p({\varpi }_i|x)=\frac{p(x|{\varpi }_i)p({\varpi }_i)}{p(x)}$$
$p(x|{\varpi }_i)$ 稱為似然， $p({\varpi }_i)$ 稱為先驗。求解最大後驗概率相當於最大化似然和先驗的乘積。

先驗概率和後驗概率的意義在筆記中談論過多，這裡就不再贅述。實際上，如果將狀態估計與分類問題強結合起來，那麼每一個狀態都對應了一個類別。 這是我靈感的來源。

在現代控制理論中講到系統可控性和能觀性的那一章節中，有一句話給我的啟發很大，「輸入影響的是系統的內部的狀態量，而狀態量決定了系統的輸出。」

在計算機控制理論中，我們常常研究離散系統。因為計算機處理的都是數位訊號，它在時間和幅值上都是離散的。我們知道微分方程的物理意義實際上是系統的運動規律。而微分方程是連續訊號的數學模型，差分方程則是離散訊號的數學模型。離散訊號可以從連續系統中取樣得到，和取樣點有關的問題，我很容易的就上升到了應用問題上。比如一個小賣鋪每個月都要進貨，輸入就是進貨量，輸出則是利潤。而使用者的偏好，地域性因素等等往往是這一輸入輸出過程中的中間變數。我企圖找到一種方法去定量描述，雖然這一週暫時還沒有更深入的學習，但我相信下週一週二一定可以解決這個問題。

目前的我，對時域、復域、頻域、狀態空間都有了一個全新的認識，相信我的控制系統的路一定會走得很長。感謝這學期能遇見這些可愛的老師，也發現自己的付出逐漸開始得到回報了。