給一個N*N的矩陣，每一位上都是1，求所有子矩陣的權值之和。
設
n
=
3
；
設n = 3；
設n=3；
考慮子矩陣大小為
i
∗
j
i * j
i∗j的個數
x
x
x，即該大小的所有子矩陣的權值為
x
∗
i
∗
j
x* i * j
x∗i∗j。
1
∗
2
1 * 2
1∗2子矩陣:每行個數為
2
2
2個，有
3
3
3列，即總權值為
2
∗
3
∗
（
1
∗
2
）
−
−
2
∗
3
2 * 3 * （1 * 2）--2 * 3
2∗3∗（1∗2）−−2∗3為該矩陣在n*n矩陣中的個數，
1
∗
2
1 * 2
1∗2為該子矩陣裡的權值。
2
∗
3
2 * 3
2∗3子矩陣：每兩行有
1
1
1個，一共
2
2
2個兩行，權值為
2
∗
3
2*3
2∗3，即總權值為
1
∗
2
∗
2
∗
3
1 * 2 * 2 * 3
1∗2∗2∗3。
根據上面推匯出：在
n
∗
n
n*n
n∗n的矩陣中，有
i
∗
j
i*j
i∗j子矩陣的個數為
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
(n - i + 1) * (n - j + 1)
(n−i+1)∗(n−j+1)，即總權值為
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
∗
i
∗
j
(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j
(n−i+1)∗(n−j+1)∗i∗j。
即總答案為：
a
n
s
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
(
n
−
i
+
1
)
∗
(
n
−
j
+
1
)
∗
i
∗
j
ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(n - i + 1) * (n - j + 1) * i * j
ans=i=1∑nj=1∑n(n−i+1)∗(n−j+1)∗i∗j
a n s = [ ∑ i = 1 n ( n − i + 1 ) i ] 2 ans=[\sum_{i=1}^n(n-i+1)i]^2 ans=[i=1∑n(n−i+1)i]2
a n s = [ n 2 ( n + 1 ) 2 − n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) 2 ] 2 ans=[\frac{n^2(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]^2 ans=[2n2(n+1)−6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)]2
a n s = [ n ∗ ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 6 ] 2 ans=[\frac{n * (n + 1)*(n+ 2)}{6}]^2 ans=[6n∗(n+1)∗(n+2)]2
因為題目說會爆longlong，所以我這裡用的是JAVA大數BigInteger，python也可（不過我不會）。
import java.util.*;
import java.math.*;
public class Main
{
public static void main(String[] args){
Scanner in = new Scanner(System.in);
int T;
T = in.nextInt();
for(int i = 1;i <= T; i++) {
long n;
n = in.nextLong();
BigInteger ans = new BigInteger("1");
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n));
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 1));
ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(n + 2));
ans = ans.divide(BigInteger.valueOf(6));
ans = ans.multiply(ans);
System.out.println(ans);
}
}
}