直紋面的簡要介紹 以及matlab程式實現

一. 直紋面的定義

        直紋面是一類特殊的曲面，它可以由一族直線「織成」，即過曲線上每一點都存在過該點的直線落在該曲面上。
        直紋面在幾何造型中的應用非常廣泛。直紋面是直線段在空間中沿某一定曲線運動所形成的軌跡. 定曲線稱為準線，直線段稱為母線。如下圖：

        設準線為$h(u)$, 母線的方向向量為$l(u)$, 則直紋面的方程為：
       
$$P(u,v)=h(u)+vh(u),$$
其中，$u\in [u_0,u_1],v\in [v_0,v_1].$

       在實際應用中，直紋面還可以表示為
       
$$P(u,v)=(1-v)a(u)+vb(u),$$
其中，$u\in [u_0,u_1],v\in [0,1].$ 顯然曲線$a(u),b(u)$為直紋面在$v=0,1$時的兩條邊界曲線
       
       

       
       
       

二. matlab程式：

function Ruled_surface
% 直紋面程式設計範例：
% 直紋面方程：p(u,v) = (1-u)*a(v) + u*b(v) ; 
% 其中a(v)，b(v)程式中分別取了兩個bezier曲線
clear;
clc;
[U,V] = meshgrid(0:0.02:1,0:0.02:1);
%第一條bezier曲線  a(v)
rx=[0,1,2,3,4,7];
ry=[0,0,-3,5,6,6];                         %控制頂點(0,0),(1,0),(2,-3),...
M = 40;
hx = 1/M;                                    %將[0,1]區間M等分
x = V;
n=length(rx)-1;
Rx = 0;
Ry = 0;
for i = 1:n+1
    Rx = Rx + rx(i)*B(x,n,i-1) ;       %將控制頂點與Bernstein基函數相乘得到bezier曲線
    Ry = Ry + ry(i)*B(x,n,i-1) ;
end
figure(1)
plot(Rx,Ry,'r')                             %bezier曲線a(v)

%第二條bezier曲線  b(v)
px=[0,1,2,3,4,6];
py=[0,2,15,5,6,6];                       %控制頂點(0,0),(1,2),....
M = 40;
hx = 1/M;                                    %將[0,1]區間M等分
x = V;
n=length(px)-1;
PX = 0;
PY = 0;
for i = 1:n+1
    PX = PX + px(i)*B(x,n,i-1) ;       %將控制頂點與Bernstein基函數相乘得到bezier曲線
    PY = PY + py(i)*B(x,n,i-1) ;
end
figure(2)
plot(PX,PY,'b')                              %bezier曲線b(v)

%將兩條邊界bezier曲線帶入直紋面方程
X = (1-U).*Rx + U.*PX;
Y = (1-U).*Ry + U.*PY ;
Z = (1-U).*2 + U.*(33) ;
%兩種方式畫圖
figure(3)
surf(U,V,Y)
figure(5)
surf(X,Y,Z)
figure(4)
mesh(X,Y,Z)
end
%  第i個bernstein基函數
function y = B(x,n,i)
y = N(n,i).*(x.^i).*((1-x).^(n-i));
end
% 組合數  Number of combinations
function y = N(n,i)
y1 = factorial(n);            %n的階乘
y2 = factorial(i)*factorial(n-i);
y = y1/y2;
end

可以直接在matlab上執行的。

              
       

三. 影象

1.第一條邊界bezier曲線：

      
        
2. 第二條邊界bezier曲線：

       
3. 最終生成的直紋面