前言：
我的個人聽課記錄，畢竟是初學，錯誤在所難免，我知道了錯誤會改正更新，歡迎指導也歡迎一起討論學習。

2.6 資料校驗碼

{n,r}即{k+r,r}

2.6.1 奇偶校驗碼（k+1，k）

1.簡單奇偶校驗
只能檢錯，不能糾錯。且只能檢錯奇位錯誤，不能確定出錯的位置。

2.交叉奇偶校驗

可檢錯也可糾錯了。

例：偶校驗

0101 ——> 0
1111 ——> 1
||||     |
1011 ——> 1

可以判斷第二行第四列出錯，所以資訊應該是：01011110，於是計算機可以進行糾錯。

2.6.2海明碼（漢明碼）

有兩種形式：（6，3）（7，4）
可設密碼

M=D$\times$ G中，D是資訊碼，G是生成矩陣。（生成矩陣可以自己設定,由此決定這可以來設密碼）
G={ I_k，P }
H={ P^T, I_m}, H 是校驗矩陣，
校驗子：S=B$\times$ H^T
例題：（6，3）

                |1 1 0 1 0 1| 
生成矩陣為：G=   |0 1 0 0 1 1|
                |0 0 1 1 0 1|
                
（1）將101進行編碼，
   （101）* G=111000  （互斥或運算）
    3位的資訊碼一共有八種，各自 * G得到對應的海明碼編碼。
（2）已知生成的編碼為 A= 110101，求它的資訊碼 m 。
    設 m =(m2,m1,m0)
    則 m * G = ( m2,m^m1,m0,m2^m0,m1,m2^m1^m0 )(^為互斥或）
    若 m 用 a5a4a3a2a1a0 表示，
    則m2=a5=1,m1=a2=0,m0=a3=0,所以 m=100
(3)得到的編碼 B= 100101，對其檢糾錯並譯碼。
   第一步：保證G中Ik為「單位矩陣」，即只有主對角線是1.所以需要將G進行r1^r2（互斥或）運算得到
       |1 0 0 1 1 0|                 
   G=  |0 1 0 0 1 1|   
       |0 0 1 1 0 1|    
   第二步：求H的轉置行列式  HT          
                  |110|                     
                  |011|
    HT(H的轉置）=  |101|
                  |100|
                  |010|
                  |011|                                  
    第三步：求校驗子                                    
     S=B*HT=011
   第四步：找出正確編碼。
      由糾錯表可知011代表a3出錯，（記住111代表不止一位出錯，無法糾錯。）
   於是我們知道正確的編碼是 A= 101101
   （由（2）得）則m2=a5=1,m1=a2=0,m0=a3=1,所以 m=101
ps:（2）中編碼為A，（3）中編碼為B，是有區別的。
一般用A表示代表沒有錯，不用檢糾錯；B表示不確定，就需要檢糾錯。

（6，3）檢糾錯能力：檢錯兩位，糾錯1位。

2.6.3迴圈冗餘校驗碼（CRC）

不能設密碼了。

例題：（7，4）
（1）選擇生成多項式為1011，把4位元有效資訊1100編成CRC碼。
準備一：
表示生成多項式：1011=X³+X¹+X⁰=X³+X+1
準備二：
表示資訊碼：1100=X³+X²
準備三：
確定2^n-k : X^7-4 = X³
計算：
求校驗碼：
r(x)=(X³+X²) X³mod (X³+X+1)=x,
x代表10，要三位，則補0，即010
出結果：1100 010

（2）若收到 B=1101010，是否出錯？
準備一：
表示生成多項式：1011=X³+X+1
準備二：
表示B= X⁶+X⁵+X³+X
計算：
（ X⁶+X⁵+X³+X ）mod ( X³+X+1 )
= x+1
x+1代表11，空位補0，即011
結果：011不是0，出錯了。

例：求「A」，用CRC（7，4）表示。
A的ASCII碼是41，即
01000001，分成四位有兩份。
0100用CRC表示有7位，
0001用CRC表示有7位，
但計算機中儲存兩個位元組，16位元，於是補0.
0 （ 0100CRC）7位 | 0 （0001CRC）7位
一共就有16位元了。
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