連續時間指數訊號

連續時間復指數函數：
$$x(t)=C{e}^{at}$$
$C$ 與 $a$ 一般為複數

1 連續時間實指數訊號

$C$ 與 $a$ 都是實數，則 $x(t)$ 為實指數訊號

（高中知識）

2 連續時間週期復指數訊號

$$\begin{gathered} x(t)=C{e}^{at} \\ a=\sigma +j\omega \end{gathered}$$

$\sigma$ 是複數 $a$ 的實部，$\omega$ 是複數 $a$ 的虛部，則根據Euler’s formula（尤拉公式）
$$\begin{gathered} e^{j\omega t}=cos(\omega t)+jsin(\omega t) \\ {e}^{-j\omega t}=cos(\omega t)-jsin(\omega t) \end{gathered}$$
則可以化為：
$$x(t)=C{e}^{at}=C{e}^{(\sigma +j\omega )t}=C{e}^{\sigma t}{e}^{j\omega t}=C{e}^{\sigma t}[cos(\omega t)+jsin(\omega t)]=C{e}^{\sigma t}cos(\omega t)+jC{e}^{\sigma t}sin(\omega t)$$
此結果表明復指數訊號可以分解為實、虛兩部分，實部包含餘弦訊號，虛部包含正弦訊號

2.1 當 $a$ 是純虛數，即 $\sigma =0$ 時

$$x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$$

我們知道復指數函數 $y=e^{j{\omega }_{0}t}$ 在空間中是一個螺旋前進的三維影象，它前進的方向是自變數序列 $t$ 增大的方向 $\omega$ 是旋轉的速度。在右手系中，若令 $x$ 軸表示 $t$ ，$y$ 軸表示虛部，$z$ 軸表示實部，則從 $t$ 的正方向往原點看去可以發現：當 $\omega >0$ 時，影象順時針旋轉接近；當 $\omega <0$ 時，影象逆時針旋轉接近。

我們使用 $Matlab$ 繪圖畫出復指數 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 的圖，以便於我們直觀理解

程式部分在https://blog.csdn.net/ctyqy2015301200079/article/details/83787163的基礎上修改

w = 1;                      %也可以改成-1
t = 0:0.1:20;
sigma = 0;                  %這個值為sigma值，後面討論一般復指數函數有用
f=exp((sigma + 1j*w)*t);                   
L=length(t);
x=t;                        %以該複函數自變數t作為三維影象的x軸
y=imag(f);                  %以該複函數虛部作為三維影象的y軸
z=real(f);                  %以該複函數實部作為三維影象的z軸
y_0=zeros(size(t));         %獲取y=0的點集   
y_1=ones(size(t));          %獲取y=1的點集
z_0=zeros(size(t));         %獲取z=0的點集
z_1=ones(size(t));          %獲取z=1的點集
plot3(x,y,z,'.b');          %繪製虛指數函數影象
hold on
grid on
x1=[x;x];
y1=[y;y_0];
z1=[z;z_0];
% 繪製復指數函數影象上的點對應的連線
for i=1:L                      
  plot3(x1(:,i),y1(:,i),z1(:,i),'b');  
end
% 繪製副部指數函數影象所繞的軸
plot3(x,y_0,z_0,'k');

% 繪製實部的在底面的投影圖
plot3(x,y,-1*z_1,'.g');   
% 繪製實部的點對應的連線
y2=[y;y_0];
z2=[-1*z_1;-1*z_1];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y2(:,i),z2(:,i),'g');  
end

% 繪製虛部的在後面的投影圖
plot3(x,y_1,z,'.r');
% 繪製虛部的點對應的連線
y3=[y_1;y_1];
z3=[z;z_0];
for i=1:L                      
   plot3(x1(:,i),y3(:,i),z3(:,i),'r');   
end

當 $w=1$ 時：可以得到結果如圖1所示，從 $t$ 正方向往原點看去，影象的確順時針靠近

當 $w=-1$時：可以得到結果如圖2所示，從 $t$ 正方向往原點看去，影象的確逆時針靠近

上圖自變數 $t$ 變化範圍為 $[0,20]$ ，紅色為實部，綠色為虛部，複數為藍色，我們可以看到紅色為餘弦函數，綠色為正弦訊號，$w$ 的正負改變了虛部的符號，所以我們可以看到當 $w$ 變為 $-1$ 的時候，正弦訊號反相。

我們可以很清楚的看到 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 是週期訊號，且 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 與 $e^{-j{\omega }_{0}t}$ 週期相同 。下面我們從數學層面去證明：

如果存在：
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}$$
則表示 $x(t)=e^{j{\omega }_{0}t}$ 是週期訊號，要使
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}$$
就必須有：
$$e^{j{\omega }_{0}t}=e^{j{\omega }_0(t+T)}=e^{j{\omega }_{0}t}{e}^{j{\omega }_{0}T}$$
則要有
$$e^{j{\omega }_{0}T}=1$$
若 ${\omega }_0=0$ ,則 $x(t)=1$,這時對於任何 $T$ 值都是週期性的，若 ${\omega }_0\ne 0$，則有：
$$e^{j{\omega }_{0}T}=cos({\omega }_{0}T)+jsin({\omega }_{0}T)=1$$
則我們知道要使上面式子成立（高中三角函數知識）則最小正 $T$ 值，即基波週期 $T_0$ 應該為：
$$T_0=\frac{2\pi }{|{\omega }_0|}$$
可見 $e^{j{\omega }_{0}t}$ 與 $e^{-j{\omega }_{0}t}$ 週期相同。證畢。

我們可以看到基波週期 $T_0$ 是與 $|{\omega }_0|$ 成反比的，也稱 ${\omega }_0$ 是基波頻率（fundamental frequency）

則我們可以討論 ${\omega }_0$ 是如何影響訊號性質的：

${\omega }_0$ 與週期成反比，與振盪速率成正比（$T=1/f$）；當 ${\omega }_0=0$ 時，$x(t)$ 變為一個常數，如上面討論的，我們可以說振盪速率為 $0$ ，振盪週期無窮大

我們計算週期復指數訊號一週期的總能量和平均功率得到總能量為 $T_0$，平均功率為 $1$ 。則我們可以得出在全部時間內積分總能量就是無窮大，平均功率總為 $1$ 。也就是說週期復指數訊號具有有限平均功率

3 連續時間一般復指數訊號

3.1 當 $a$ 不是純虛數，即 $\sigma \ne 0$ 時

由開頭已經推匯出：
$$x(t)=C{e}^{at}=C{e}^{\sigma t}cos(\omega t)+jC{e}^{\sigma t}sin(\omega t)$$
我們補充將 $C$ 用極座標表示， $a$ 不變用笛卡爾座標來表示，
$$\begin{gathered} C=|C|e^{j\theta } \\ a=\sigma +j\omega \end{gathered}$$
則可以進一步展開為：
$$C{e}^{at}=|C|e^{\sigma t}cos(\omega t+\theta )+j|C|e^{\sigma t}sin(\omega t+\theta )$$
則我們可以得出如下結論：

當 $\sigma =0$ 時，實部虛部都是正弦序列（正弦和餘弦統稱正弦訊號）（等幅振盪）

當 $\sigma >0$ 時，實部與虛部是一個振幅呈指數增長的正弦訊號。（增幅振盪）

當 $\sigma <0$ 時，實部與虛部是一個振幅呈指數衰減的正弦訊號。（衰減振盪/阻尼正弦震盪(damped sinusoids)）

我們修改上面 $Matlab$ 程式碼的 sigma 變數值來觀察。

當 $\sigma =0.1>0$ 時，可以看到其為增幅震盪：

當$\sigma =-0.1<0$ 時，可以看到其為衰減震盪：

參考 https://blog.csdn.net/lsywyy/article/details/96440059 程式碼
使用另一種方法也可以畫出衰減振盪：

clc
clear
s=-0.1+1j*pi/2;
t=0:0.01:30;
f=exp(s.*t);
x=t;
y=imag(f);
z=real(f);
plot3(x,y,z,'-black');
grid on
hold on
%畫軸
y_0=zeros(size(t));            %獲取y=0的點集   
z_0=zeros(size(t));            %獲取z=0的點集
plot3(x,y_0,z_0,'-black');

畫出圖如下所示：

最後 $a=\sigma +j\omega$ 中 $\sigma$ 與 $\omega$ 都等於 $0$ 的時候，變為直流訊號。