【博弈論&&建模】 Candy Piles

題目描述：

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$Solution$

我們形象的理解一下去糖果的過程是怎麼樣的。

首先，我們將原本無序的糖果排序一下變成有序的序列，這樣子能夠較好的處理取出石子最多這一操作，如下：
//這裡借用一下atcoder的官方圖片，以助於理解

然後我們模擬一下取糖果的效果。
如果是取走石子最多的一堆，實際上相當於消除最左邊的一列：

如果是給每堆石子都取走一個，那麼就是消除最下面的一行：

因此，我們將這樣的操作形象理解之後可以發現，這樣的操作要麼是消除最左邊的一列要麼是消除最底下的一行。

接著我們抽象的將這樣的情況轉化為網格圖：

將操作轉化到網格圖上，不難想到，消除最右邊的一列，就是往右走一格；消除最下面的一行，就是往上走一格。

什麼情況結束呢？走到邊界就結束了，並且誰走到邊界誰就輸。

OK，我們重新回到題目上，題目上求的是是否必勝與必敗，這是一道博弈。
我們給每個點都附上一個身份：必勝點與必敗點。表示走到當前是必勝還是必敗。
顯然的，網格圖的邊界都是必敗點。而對於一個點，只要他的右邊或者上面有一個點是必敗點，那麼當前就是必勝點。如果他的右邊以及上面都是必勝點，那麼當前就是必敗點。
這裡用○表示必敗點，×表示必勝點：

我們是從原點$(0,0)$出發，下一步是先手。所以可以理解為後手此時處在原點。那麼當原點是必勝點是，後手必勝，原點是必敗點時，先手必勝。

但是，對於此題的資料範圍而言，我們顯然不能夠將整個網格圖的資訊都記錄下來。所以我們需要在上圖的基礎上尋找規律：

我們發現，除了邊界點，每一條對角線上的點都是相同型別的。
因此，我們如果想要確定原點的型別是怎麼樣的，只要確定其對角線上的點的型別是怎麼樣的即可。
原點斜向上的對角線是45度對角線，所以我們是需要找到以原點左下角的最大正方形，設右上角為$(i,i)$：

如果當前$(i,i)$到邊界的一端的前一個點的距離為奇數，那麼當前點就是必敗點，即原點是必敗點；反之原點就是必勝點。
到此，這道題就結束了！
十分巧妙的建模……

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Code

？？那麼簡單還不會寫？？