眼見不一定為實！電阻、電容和電感的實際等效模型

訊號完整性在高速電路中有著至關重要的作用，而很多訊號完整性問題需要用「阻抗」的概念來解釋和描述。

在高頻訊號下，很多器件失去了原有的特性，如我們經常聽到的「高頻時電阻不再是電阻，電容不再是電容」，這是咋回事呢？那就看今天的文章吧！

容抗的概念

電容有兩個重要特性，一個是隔直通交，另一個是電容電壓不能突變，先來看一下百度百科對容抗的解釋。

簡單說，雖然交流電能通過電容，但是不同頻率的交流電和不同容值的電容，通過時的阻礙是不一樣的，把這種阻礙稱之為容抗。

容抗與電容和頻率的大小成反比，也就是說，在相同頻率下，電容越大，容抗越小；在相同電容下，頻率越高，容抗越小。

如何理解容抗與電容大小和頻率成反比呢？

以RC一階低通濾波器舉例。

Vin通過R1電阻對電容C1進行充電，Vin的電勢加在電容C的兩個金屬極板上，正負電荷在電勢差作用下分別向電容的兩個極板聚集而形成電場，這稱為充電過程。

若將Vin拿掉，在Vout上加一個負載R2（青色部分），電容兩端的電荷會在電勢差下向負載流走，這稱為放電過程。（流過電容的電流並不是真正穿過了極板的絕緣媒介，指的是外部的電流）

衡量電容充電的電荷數是Q，Q=CV，C是常數，所以電荷數和電壓呈正比。

C=Q/V，電容量代表了電容儲存電荷的能力，微分表示式為：

$$C=\frac{dq(t)}{dv(t)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

電流是單位時間內電荷數的變化量:$$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(2)}$$

結合(1)和(2)兩個公式可得到：$$i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(3)}$$

從公式可以看出：電容上的電流和電壓的變化量是呈正比的，或者說電容上電壓的變化量和電流是呈正比的。

即在電壓一定時，電容越大，單位時間內電路中充、放電移動的電荷量越大，電流越大，所以電容對交變電流的阻礙作用越小，即容抗越小。

在交變電流的電壓一定時，交變電流的頻率越高，電路中充、放電越頻繁，單位時間內電荷移動速率越大，電流越大，電容對交變電流的阻礙作用越小，即容抗越小。

容抗用$X_C$表示，公式如下，其中$f$是頻率，$C$是容值

$$X_C=\frac{1}{\omega C}$$

因為（$\omega =2\pi f$），所以容抗也可以用如下的公式表示：

$$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$$

感抗的概念

如下是百度百度對感抗的解釋，電感的特性是隔交通直，與電容是相反的；所以說容抗和感抗的性質和效果幾乎正好相反，而電阻則處在這兩個極端中間。

感抗與電感的大小和頻率成正比，也就是說，在同頻率下，電感越大，感抗越大；在同電感下，頻率越大，感抗越大。

感抗用$X_L$表示，公式如下，其中$f$是訊號頻率，$L$是感值

$$X_L=\omega L$$

因為（$\omega =2\pi f$），所以感抗的公式可以用如下表示：

$$X_L=2\pi fL$$

感抗和容抗又被稱為電抗，電路的總的阻抗Z由電阻R和電抗X組成。

掌握了預備知識，我們再來看電阻、電容和電感的實際等效模型。

理想的電阻、電容和電感就是如下的這樣子，在實際中並不存在，在電阻裡面會有寄生電容和寄生電感的存在，在電容裡面會有寄生電阻和寄生電感的存在，在電感裡面有寄生電阻和寄生電容。

理想電阻

理想電阻的阻抗即為阻值R：$$Z_{ideal}=R$$

電阻實際等效模型

電阻上會存在寄生並聯電容C寄生串聯電感L的存在。

根據上圖可得電阻的實際等效阻抗為：$$Z_{real}=\frac{(j\omega L+R)\ast \frac{1}{j\omega C}}{(j\omega L+R)+\frac{1}{j\omega C}}$$

化簡可得：$$Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-{\omega }^{2}LC)+j\omega RC}$$

實際電阻器的阻抗和頻率曲線，有兩個節點，分別為$$f1=\frac{1}{2\pi RC}$$$$f2=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

在頻率小於$f1$時，呈現電阻特性，在$f1$和$f2$之間，呈現電容減少阻抗，頻率大於$f2$時，呈現電感增加阻抗的特性。

$f1$和$f2$分別對應RC濾波器的截止頻率點和​容抗和感抗相等時的頻率點。​

理想電容器

理想電容器的阻抗Z公式為：$$Z_{ideal}=\frac{1}{j\omega c}=\frac{1}{j2\pi fc}$$

阻抗大小|Z|如下圖所示，與頻率呈反比，隨著頻率增大，阻抗減小，由於理想電容器中無失真耗，故等效串聯電阻(ESR)為零。

電容實際等效模型

理想的電容器在實際中是不存在的，電容的實際模型是一個ESR串聯一個ESL，再串聯一個電容，ESR是等效串聯電阻，ESL是等效串聯電感，C是理想的電容。

所以上述模型的復阻抗為：$$Z=ESR+j2\pi fESL+\frac{1}{j2\pi fc}=ESR+j(2\pi fESL-\frac{1}{2\pi fc})$$

• $2\pi fESL<<\frac{1}{2\pi fc}$時，電容器表現為容性；

• $2\pi fESL>>\frac{1}{2\pi fc}$時，電容器表現為感性，因此會有一句話叫高頻時電容不再是電容，而呈現為電感，這個電感不是說電容變成了電感，而是指此時的電容擁有了與電感類似的特性。

• $2\pi fESL=\frac{1}{2\pi fc}$時，此時容抗向量等於感抗向量，電容的總阻抗最小，表現為純電阻特性，此時的f稱為電容的自諧振頻率。

自諧振頻率點是區分電容是容性還是感性的分界點，高於諧振點時，「電容不再是電容」，因此退耦作用將下降。實際電容器都有一定的工作頻率範圍，在工作頻率範圍內，電容才具有很好的退耦作用。$ESL$是電容在高於自諧振頻率點之後退耦功能被消弱的根本原因。

下圖是實際電容器的頻率特性。

理想電感

理想電感的阻抗為：$$Z_{ideal}=j\omega L$$

電感實際等效模型

和電阻的是一樣的，即：$$Z_{real}=\frac{j\omega L+R}{(1-{\omega }^{2}LC)+j\omega RC}$$

從下圖可以看出，理想的電感的阻抗是隨著頻率的增加而變大的。

等效電感的阻抗呈一個倒V型，正好和電容相反，倒V的最高點稱為電感的自諧振點。

當系統阻尼R提供的衰減不足時，容抗和感抗相互抵消，能量在LC間來回傳遞，這就是諧振。

• 頻率低於自諧振頻率SRF時，電感感抗隨著頻率增加而增加。

• 頻率等於自諧振頻率SRF時，電感感抗達到最大。

• 頻率高於自諧振頻率SRF時，電感感抗隨著頻率增加而減少。

總結

理想的電阻、電容和電感在實際中不存在，都會存在寄生引數，從而在不同的頻率下，表現出的特性不同，只有在特定的頻率範圍內才能發揮出其本身的特性。

今天的文章內容到這裡就結束了，希望對你有幫助，我們下一期見。